2036 改革春风吹满（多边形的面积）

Problem Description

 “ 改革春风吹满地,
不会AC没关系;
实在不行回老家，
还有一亩三分地。
谢谢!（乐队奏乐）”

话说部分学生心态极好，每天就知道游戏，这次考试如此简单的题目，也是云里雾里，而且，还竟然来这么几句打油诗。
好呀，老师的责任就是帮你解决问题，既然想种田，那就分你一块。
这块田位于浙江省温州市苍南县灵溪镇林家铺子村，多边形形状的一块地，原本是linle 的，现在就准备送给你了。不过，任何事情都没有那么简单，你必须首先告诉我这块地到底有多少面积，如果回答正确才能真正得到这块地。
发愁了吧？就是要让你知道，种地也是需要AC知识的！以后还是好好练吧...

Input

 输入数据包含多个测试实例，每个测试实例占一行，每行的开始是一个整数n(3<=n<=100)，它表示多边形的边数（当然也是顶点数），然后是按照逆时针顺序给出的n个顶点的坐标（x1, y1, x2, y2... xn, yn）,为了简化问题，这里的所有坐标都用整数表示。
输入数据中所有的整数都在32位整数范围内，n=0表示数据的结束，不做处理。

Output

 对于每个测试实例，请输出对应的多边形面积，结果精确到小数点后一位小数。
每个实例的输出占一行。

Sample Input

 3 0 0 1 0 0 1
4 1 0 0 1 -1 0 0 -1
0

Sample Output

 0.5
2.0

问题分析

Problem Analyse

 求多边形面积

Algorithm Analyse

 可以利用多边形求面积公式：
S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )
其中点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)为多边形上按逆时针顺序的顶点。

简要证明：
1.我们先简单地从三个点入手(包括原点)。

面积S△OAB = SABCD - S△OAD - S△OBC  ·SABCD = (y0 + y1) × (x0 - x1) ÷ 2  ·S△OAD = x0 × y0 ÷ 2  ·S△OBC = (-x1) × y1 ÷ 2S△OAB = (x0 × y0 + x0 × y1 - x1 × y0 - x1 × y1 - x0 × y0 + x1 × y1) ÷ 2= (x0 × y1 - x1 × y0) ÷ 2公式成立。同理你可以算出其他情况也能符合这个公式。

2.假设该公式对于n个顶点的多边形成立。即：
S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )

再加如第n+1点后，面积S' = S + S△A0AnAn+1  ·S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )  ·S△A0AnAn+1 = 0.5 * ( (X0*Yn-Xn*Y0) + (Xn*Yn+1-Xn+1*Yn) + (Xn+1*Y0-X0*Yn+1) )∴S' = S = 0.5 * ( (X0*Y1-X1*Y0) + (X1*Y2-X2*Y1) + ... + (Xn*Yn+1-Xn+1*Yn) + (Xn+1*Y0-X0*Yn+1) )

综上所述，得到公式：S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )
得证！#include<iostream>
#include<set>
#include<deque>
using namespace std;
int main()
{ 
    int n;
    double sum;
    int a[105];
    int b[105];
    while(scanf("%d",&n),n)
    {
    sum=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
    scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
    }
    a[n]=a[0];
    b[n]=b[0];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
    sum=sum+a[i]*b[i+1]-a[i+1]*b[i];
    }
    printf("%.1lf\n",0.5*sum);
    }
return 0;
}