NOIP2016普及组第四题魔法阵解说+水法

其实呢，这道题大部分是思路，对于信息学的代码啊、算法啊，并没有特别高的要求。

看到题目数据，便大吃一惊：数据里的水分呢？？？暴搜和水法肯定是不能AC的了。不过，“数据就像海绵，只要挤，总是有水的。”事实证明，“水法真神奇，暴力出奇迹”同样适用于这道题目。4重循环，时间O(n4)也是可以水到过半的分的。然而，顿时又通过b-a=2(d-c)这个等式，可以在已知a,b,c的情况下直接求出d。时间O(n3)，拿到75分不是问题。接着，通过b-a<(c-b)/3和b-a=2(d-c)这两个式子解方程/不等式可以发现(b-a)是偶数、c>b*4-3*a等取值范围，这样可以拿到80~85分。

       接着，正解：
       通过b-a<(c-b)/3和b-a=2(d-c)这两个式子解方程/不等式得出，a,b,c,d之间的关系图(d-c=i)(k>0)：

           2i                  >6i(6i+k)               i 
___|______|___________________|___|___
     a           b                                     c     d
    (a)      (a+2i)                         (a+8i+k) (a+9i+k)
       这时候，就可以依次枚举i,a,k三个数以得出结果，时间O((n div 9)*(n-9i-1)*(n-i*9)。然并卵，这样还是会超时。所以可以加点优化。
       不难发现，每一次枚举i中会重复多次求可能的，k的方案数，而c,d就是目标(a+8i+k和a+9i+k)，所以，我们可以在每一次枚举i的起始位置，先求出c的取值范围在i~j之间的c,d取法数。然而这样会爆空间，所以，我们就用w[i]表示c的取值范围在i~n之间的c,d取法数。则w[i]-w[j+1]表示c的取值范围在i~j之间的c,d取法数。而w数组就是后缀和，再用相对的方法将s数组中存a的前缀和。
       当你完成这一切时，你就可以利用前后缀和将程序活生生压成for i中四个for j的四重循环了打上输入输出，AC和同学们在前方等着你！！！

补充：对于不会优化、不会三重循环、甚至暴力都不会的蒟蒻们，我也很人性化的给你们发福利了！！！看好了，现在我要从裤兜里掏出一个几乎每道题目都适用的超级算法——水法！！！(提醒：这只是一个85分的程序，不要想多了，怎么可能有可以ACNOIP普及组第四题的水法！）

var        a,b,c,d,n,m,i,j:longint;        s:array [1..15000,1..4] of longint;//答案        bj:array [1..15000] of longint;//每个数出现的次数        t:array [1..40000] of longint;//储存输入的N个数begin        assign(input,'magic.in'); reset(input);        assign(output,'magic.out'); rewrite(output);        readln(n,m); n:=0;        for i:=1 to m do        begin                readln(t[i]);                inc(bj[t[i]]);                if t[i]>n then n:=t[i];        end;//输入        for a:=1 to n do        if bj[a]>0 then begin                b:=a+2;                while b<=n do                begin                if bj[b]>0 then begin                        for c:=4*b-3*a+1 to n do //由公式得出                        if bj[c]>0 then begin                                d:=c+(b-a) div 2;//三重循环枚举                                if bj[d]>0 then begin                                        inc(s[a,1],bj[b]*bj[c]*bj[d]);                                        inc(s[b,2],bj[a]*bj[c]*bj[d]);                                        inc(s[c,3],bj[a]*bj[b]*bj[d]);                                        inc(s[d,4],bj[a]*bj[b]*bj[c]);//更新答案                                end;                        end;                end;                inc(b,2);                end;        end;        for i:=1 to m do        begin                for j:=1 to 4 do                begin                        write(s[t[i],j],' ');                end;                writeln;        end;//输出        close(input); close(output);end.