网络流题目总结

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这次再收flag就真的退役了……
每天的任务是一场CF/TC的Div1.
再刷几道BZOJ题目。
同时会刷一道网络流题目。

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总体思路：
1.二分答案+check[scoi奇怪的游戏]
2.拆点表示自身的限制[scoi蜥蜴]
3.最小代价/最大收益转化成最小割[tjoi线性代数]
4.分层建点[hnoi切糕]
5.通过变量间的增量减少边/点的数量[hnoi切糕,tjoi线性代数]
6.转化成二分图模型[tjoi循环格]
7.黑白染色[圈地计划]
8.通过增强数据范围让人觉得它不是个网络流
9.最大权闭合图(分类讨论)
10.通过前驱/后继的特殊性建图(通常变成二分图)
11.分阶段性建图[建比较暴力的图]
12.对行进行建点，对列进行建点，行对列的贡献只有1.<在网格图极其好用。>

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一些规定
三元组在网络流中出现时，(a,b,c)定义为weight[a−>b]:=c
在费用流中出现时，weight[a−>b]:=c，cost[a−>b]=0;
四元组在费用流出现时：weight[a−>b]:=c，cost[a−>b]=d;

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通常在最小割中，我们会将黑色白色分别划到S和T集合中，或者将选或不选划到S和T集合中。
考虑选或不选时的建图：
1.A和B**存在至少一个**在T时,产生d的代价(意味着A在T或者B在T的时候，C一定在T)：(S,C,d),(C,A,inf),(C,B,inf)
2.A和B全在T时，产生d的代价：

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1.[SCOI2009]蜥蜴
建图思路：
明显对于自己本身的限制，那么对于每个对自身的限制拆点
(i,i′,h[i])。这样可以很好地表示最大流。
2.[TJOI2015]线性代数
建图思路：
首先想到最小割，把有收益有代价的图转化成只有代价的图。
然后想到，如果表示val[i][j]∗[a[i] and a[j]]，即：某些东西必须同时选时才能产生这个代价。
3.[CQOI2009]dance跳舞
建图思路：
会发现对于自身有k的限制，那么一定是拆点。
然后很自然的想到答案可以二分，这样随便check下就行了。
4.[Tjoi2013]循环格
建图思路：
不算很明显的二分图（其实很明显吧233）
注意到入度等于出度等于1，那么实际本题是求一个可修改的匹配。
跑费用流就行了。
5.[noi2006]最大获利
建图思路：
听说是个最大权闭合图的模板题。
但是我是分类讨论做的。
选A会产生a的代价(A,T,a)
对于一个点对(A,B,c);
考虑到如果A不选那么就会产生c的代价，那么变成：(S,A,c).
考虑到在点对中，如果B不选那么就会失去c的代价，那么变成：(A,B,c).
按照最大权闭合图的做法：
A或者B不选都会产生c的代价，那么(S,C,c),(C,A,inf),(C,B,inf)
6.[SDOI2010]星际竞速
转化成阶段来想。
我们相当于有n个白点，经过一些方法[直接染黑/通过某个黑点并经过这条边]把它染黑，且只染黑一次。
怎么做呢？
费用流。
我们有n个白点：(S,i,1)
直接变成n个黑点：(S,i+n,1,a[i]),(i+n,T,1)
间接通过黑点去染黑：(j+n,i,w[j−>i])
实际上这个题就可以认为是一个拆点。
是不是很好玩呢。
7.[ZJOI2011]营救皮卡丘
又是把白点全都弄成黑点。
(在[1,n])免费提供n个白点(S,i,1)
n个黑点的答案(i+n,T,1)
在0处免费提供K个白点(S,0,K)
在流后，每个白点都能被变成黑点，那么白点的贡献是它之后的黑点。
(i,j+n,1,w[i−>j])(j>i)
8.未知出处
n支队伍，要互相进行一些场次的比赛，一共还有m场没有比。给出每个队目前的总分以及m场谁要和谁比。问是否有方案安排这m场比赛的结果（你可以决定这m场谁赢），使得第n支队伍最后的总分大于其他任一支队伍的总分。一场比赛赢了得两分，输了0分，平了1分。（1<=n<=100,1<=m<=1000）
首先运用贪心，把第n个队伍的都弄赢。
注意到一个问题：每次比赛实际上是分配了两分。
那么就成SB题了。
注意观察一些流量平衡的细节非常重要。