经过了几天的学习和做题，我利用刘汝佳书上的网络流算法模板完成了HihoCoder上的几个网络流算法，HihoCoder可能还会继续更新网络流算法，所以我也会接着总结。
这个主要是对网络流算法的建模做分析和理解，不具体分析网络流算法，网络流算法会单独总结。
网络流一·Ford-Fulkerson算法
题目连接
本题没有建模，就是标准的网络最大流求解，将图建完后直接应用最大流算法即可解决。但在此记录几点注意的地方：
代码如下，为刘汝佳书《算法竞赛入门经典》中一个模板：
const int maxn = 505;const int INF = 0x7fffffff;struct Edge { int from, to, cap, flow; Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}};struct EdmondsKarp { int n, m; vector<Edge> edges; vector<int> G[maxn]; int a[maxn]; int p[maxn]; void init(int n) { for (int i = 0; i < n; ++i) G[i].clear(); edges.clear(); } void AddEdge(int from, int to, int cap) { edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0)); edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0)); m = edges.size(); G[from].push_back(m - 2); G[to].push_back(m - 1); } int Maxflow(int s, int t) { int flow = 0; for (;;) { memset(a, 0, sizeof(a)); queue<int> Q; Q.push(s); a[s] = INF; while (!Q.empty()) { int x = Q.front(); Q.pop(); for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) { Edge &e = edges[G[x][i]]; if (!a[e.to] && e.cap > e.flow) { p[e.to] = G[x][i]; a[e.to] = min(a[x], e.cap - e.flow); Q.push(e.to); } } if (a[t]) break; } if (!a[t]) break; for (int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from) { edges[p[u]].flow += a[t]; edges[p[u] ^ 1].flow -= a[t]; } flow += a[t]; } return flow; }};int main(){#ifdef LOCAL freopen("input.txt", "r", stdin); #endif int N, M, u, v, c; cin >> N >> M; EdmondsKarp ek; ek.init(N); for (int i = 0; i < M; ++i) { cin >> u >> v >> c; ek.AddEdge(u, v, c); } cout << ek.Maxflow(1, N) << endl; return 0;}
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网络流二·最大流最小割定理
题目连接
这部分主要是证明最小割等于最大流，证明详细步骤见上面题目，这里记录下主要步骤：
f(S, T) 等于从 s 出来的流，等于当前的网络流量 f。f(S, T) 表示割 (S, T)的净流量。
对于网络的任何一个流，一定小于等于任何一个割的容量（f(S, T) <= C(S, T)
对于一个网络 G=(V, E)，有源点 s 汇点 t，以下三个等价：
1、f 是图 G 的最大流
2、残留网络不存在增广路
3、对于G的一个割(S, T)，此时 f = C(S, T)
证明：
1=>2：假设 f 是图 G 的最大流，如果残留网络存在增广路 p，流量为 fp，那么有流 f’ = f + fp > f ，与 f 是最大流矛盾。
2=>3：对于任意的 u S v T，有 f(u, v) = c(u, v)，即
∑f(u,v)=∑c(u,v)=f(S,T)=C(S,T)=f
这样，找不到增广路的时候求得的一定是最大流，最大流等于最小割。
另外，本题要求求出最小割集合 S，在割 (S, T) 中，计算出的残留网络从 s 开始遍历，所能遍历到的点即为 S 集合，因为求得的最小割就是最大流，最大流中残留网络不存在增广路径，也就是说从 s 没法走到 t，故从 s 开始遍历，所得到的点的集合就是 S。
const int maxn = 505;const int INF = 0x7FFFFFFF;struct Edge { int from, to, cap, flow; Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}};bool used[maxn];std::vector<int> rst;struct EdmondsKarp { int n, m; vector<Edge> edges; vector<int> G[maxn]; int a[maxn]; int p[maxn]; void init(int n) { for (int i = 0; i < n; ++i) G[i].clear(); edges.clear(); } void AddEdge(int from, int to, int cap) { edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0)); edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0)); m = edges.size(); G[from].push_back(m - 2); G[to].push_back(m - 1); } int Maxflow(int s, int t) { int flow = 0; for (;;) { memset(a, 0, sizeof(a)); queue<int> Q; Q.push(s); a[s] = INF; while (!Q.empty()) { int x = Q.front(); Q.pop(); for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) { Edge &e = edges[G[x][i]]; if (!a[e.to] && e.cap > e.flow) { p[e.to] = G[x][i]; a[e.to] = min(a[x], e.cap - e.flow); Q.push(e.to); } } if (a[t]) break; } if (!a[t]) break; for (int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from) { edges[p[u]].flow += a[t]; edges[p[u] ^ 1].flow -= a[t]; } flow += a[t]; } return flow; } void GetMinCutSetS(int s) { rst.push_back(s); used[s] = true; for (int i = 0; i < G[s].size(); ++i) { Edge &e = edges[G[s][i]]; if (!used[e.to] && e.flow != e.cap) { GetMinCutSetS(e.to); } } }};int main(int argc, char** argv) {#ifdef LOCAL freopen("input.txt", "r", stdin); freopen("output.txt", "w", stdout);#endif int N, M; cin >> N >> M; EdmondsKarp ek; ek.init(N); int u, v, c; for (int i = 0; i < M; ++i) { cin >> u >> v >> c; ek.AddEdge(u, v, c); } int flow = ek.Maxflow(1, N); ek.GetMinCutSetS(1); std::cout << flow << " " << rst.size() << std::endl; for (int i = 0; i < rst.size() - 1; ++i) { cout << rst[i] << " "; } std::cout << rst[rst.size() - 1] << std::endl; return 0;}
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说明：代码中的 GetMinCutSetS 就是一个 DFS 方法，从一个点开始遍历得到最终的 S 集合，没什么难的。结果保存在一个 vector 中。
网络流三·二分图多重匹配
题目连接
二分图的多重匹配，其实质就是需要规定 X 集中的点可以使用多少次，Y 中的点可以重用多少次，如果 X 中的某个点的流量使用完毕，则这条边满流，则不可再次使用。从源点 s 指向 X 集中的边的容量则规定了这个点能用多少次！Y 集中的指向汇点 t 的边的容量也是如此含义。所以，如果 Y 集中的容量没有用光，则说明当前的流（匹配）还没有达到所期望的要求。
这题使用了CheckMaxMatch 用来判断指向汇点的边是否满流。
const int maxn = 1005;const int INF = 0x7FFFFFFF;struct Edge { int from, to, cap, flow; Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}};struct EdmondsKarp { int n, m; vector<Edge> edges; vector<int> G[maxn]; int a[maxn]; int p[maxn]; void init(int n) { for (int i = 0; i < n; ++i) G[i].clear(); edges.clear(); } void AddEdge(int from, int to, int cap) { edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0)); edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0)); m = edges.size(); G[from].push_back(m - 2); G[to].push_back(m - 1); } int Maxflow(int s, int t) { int flow = 0; for (;;) { memset(a, 0, sizeof(a)); queue<int> Q; Q.push(s); a[s] = INF; while (!Q.empty()) { int x = Q.front(); Q.pop(); for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) { Edge &e = edges[G[x][i]]; if (!a[e.to] && e.cap > e.flow) { p[e.to] = G[x][i]; a[e.to] = min(a[x], e.cap - e.flow); Q.push(e.to); } } if (a[t]) break; } if (!a[t]) break; for (int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from) { edges[p[u]].flow += a[t]; edges[p[u] ^ 1].flow -= a[t]; } flow += a[t]; } return flow; } bool CheckMaxMatch(int N, int M) { for (int i = 1; i <= M; ++i) { for (int j = 0; j < G[N + i].size(); ++j) { Edge &e = edges[G[N + i][j]]; if (e.flow != e.cap && e.flow > 0) { return false; } } } return true; } };int main(int argc, char** argv) {#ifdef LOCAL freopen("input.txt", "r", stdin); freopen("output.txt", "w", stdout);#endif int T; cin >> T; while (T--) { int N, M; cin >> N >> M; EdmondsKarp ek; ek.init(N + M + 2); int m[maxn + 5], a[maxn + 5], b[maxn + 5]; for (int i = 0; i < M; ++i) cin >> m[i]; for (int i = 0; i < N; ++i) { cin >> a[i] >> b[i]; int tmprecv; for (int j = 0; j < b[i]; ++j) { cin >> tmprecv; ek.AddEdge(i + 1, tmprecv + N, 1); } } for (int i = 1; i <= N; ++i) { ek.AddEdge(0, i, a[i - 1]); } for (int i = 1; i <= M; ++i) { ek.AddEdge(N + i, N + M + 1, m[i - 1]); } ek.Maxflow(0, N + M + 1); cout << (ek.CheckMaxMatch(N, M) ? "Yes" : "No") << endl; } return 0;}
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网络流四·最小路径覆盖
题目连接
建图的方法为：
1、添加源点 s 和汇点 t。
2、拆点，将每个点拆成两个点，比如 a 拆成 a1, a2，b 拆成 b1, b2。
3、从源点向 X 集合中每个点添加一条容量为 1 的有向边。
4、从 Y 集合向汇点中每个点添加一条容量为 1 的有向边。
5、如果 a -> b 有边，则从 a1 向 b2 添加一条容量为 1 的有向边。
最小路径覆盖就是总点数 N - 最小割。证明在我学会之前暂时不写。
推荐去看《计算机算法设计与分析》中的网络流 24 题中的魔术球问题，这是一道很隐晦的利用网络流的最小路径覆盖问题，很经典。
const int maxn = 1005;const int INF = 0x7FFFFFFF;struct Edge { int from, to, cap, flow; Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}};struct EdmondsKarp { int n, m; vector<Edge> edges; vector<int> G[maxn]; int a[maxn]; int p[maxn]; void init(int n) { for (int i = 0; i < n; ++i) G[i].clear(); edges.clear(); } void AddEdge(int from, int to, int cap) { edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0)); edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0)); m = edges.size(); G[from].push_back(m - 2); G[to].push_back(m - 1); } int Maxflow(int s, int t) { int flow = 0; for (;;) { memset(a, 0, sizeof(a)); queue<int> Q; Q.push(s); a[s] = INF; while (!Q.empty()) { int x = Q.front(); Q.pop(); for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) { Edge &e = edges[G[x][i]]; if (!a[e.to] && e.cap > e.flow) { p[e.to] = G[x][i]; a[e.to] = min(a[x], e.cap - e.flow); Q.push(e.to); } } if (a[t]) break; } if (!a[t]) break; for (int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from) { edges[p[u]].flow += a[t]; edges[p[u] ^ 1].flow -= a[t]; } flow += a[t]; } return flow; }};int main(int argc, char** argv) {#ifdef LOCAL freopen("input.txt", "r", stdin); freopen("output.txt", "w", stdout);#endif int N, M; cin >> N >> M; EdmondsKarp edk; edk.init(N + N); int u, v; for (int i = 1; i <= M; ++i) { cin >> u >> v; edk.AddEdge(u, v + N, 1); } for (int i = 1; i <= N; ++i) { edk.AddEdge(0, i, 1); edk.AddEdge(N + i, N + N + 1, 1); } cout << N - edk.Maxflow(0, N + N + 1) << endl; return 0;}
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网络流五·最大权闭合子图
题目连接
最大权闭合子图：目前就我的理解是用来建模求解一些有“收入”以及“支出”并且求最后最大的收益类问题的。建模方法如下：
1、添加源点 s 和汇点 t 。
2、从源点 s 向 X 集合中每个点连一条容量为该点“收入”的有向边。
3、从 Y 集合中每个点向汇点 t 连一条容量为该点“支出”的有向边。
4、若 X 和 Y 集合中的点有依赖关系，则从 X 集合向 Y 集合每个关系添加一条容量为无限大的有向边。
最终的结果为所有收入之和 - 最小割。
const int maxn = 1005;const int INF = 0x7FFFFFFF;struct Edge { int from, to, cap, flow; Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}};struct EdmondsKarp { int n, m; vector<Edge> edges; vector<int> G[maxn]; int a[maxn]; int p[maxn]; void init(int n) { for (int i = 0; i < n; ++i) G[i].clear(); edges.clear(); } void AddEdge(int from, int to, int cap) { edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0)); edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0)); m = edges.size(); G[from].push_back(m - 2); G[to].push_back(m - 1); } int Maxflow(int s, int t) { int flow = 0; for (;;) { memset(a, 0, sizeof(a)); queue<int> Q; Q.push(s); a[s] = INF; while (!Q.empty()) { int x = Q.front(); Q.pop(); for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) { Edge &e = edges[G[x][i]]; if (!a[e.to] && e.cap > e.flow) { p[e.to] = G[x][i]; a[e.to] = min(a[x], e.cap - e.flow); Q.push(e.to); } } if (a[t]) break; } if (!a[t]) break; for (int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from) { edges[p[u]].flow += a[t]; edges[p[u] ^ 1].flow -= a[t]; } flow += a[t]; } return flow; } bool CheckMaxMatch(int N, int M) { for (int i = 1; i <= M; ++i) { for (int j = 0; j < G[N + i].size(); ++j) { Edge &e = edges[G[N + i][j]]; if (e.flow != e.cap && e.flow > 0) { return false; } } } return true; } };int main(int argc, char** argv) {#ifdef LOCAL freopen("input.txt", "r", stdin); freopen("output.txt", "w", stdout);#endif int N, M; cin >> N >> M; int b[maxn], sum = 0; EdmondsKarp ek; ek.init(N + M + 2); for (int i = 1; i <= M; ++i) cin >> b[i]; for (int i = 1; i <= N; ++i) { int a, k, recvtmp; cin >> a >> k; sum += a; ek.AddEdge(0, i, a); for (int j = 1; j <= k; ++j) { cin >> recvtmp; ek.AddEdge(i, recvtmp + N, INF); } } for (int i = 1; i <= M; ++i) { ek.AddEdge(i + N, N + M + 1, b[i]); } cout << sum - ek.Maxflow(0, N + M + 1) << endl; return 0;}
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