NYOJ 118 次小生成树

1.Question:

描述

南将军率领着许多部队，它们分别驻扎在N个不同的城市里，这些城市分别编号1~N，由于交通不太便利，南将军准备修路。

现在已经知道哪些城市之间可以修路，如果修路，花费是多少。

现在，军师小工已经找到了一种修路的方案，能够使各个城市都联通起来，而且花费最少。

但是，南将军说，这个修路方案所拼成的图案很不吉利，想让小工计算一下是否存在另外一种方案花费和刚才的方案一样，现在你来帮小工写一个程序算一下吧。

输入

第一行输入一个整数T(1<T<20)，表示测试数据的组数
每组测试数据的第一行是两个整数V,E，(3<V<500,10<E<200000)分别表示城市的个数和城市之间路的条数。数据保证所有的城市都有路相连。
随后的E行，每行有三个数字A B L，表示A号城市与B号城市之间修路花费为L。

输出

对于每组测试数据输出Yes或No（如果存在两种以上的最小花费方案则输出Yes,如果最小花费的方案只有一种，则输出No)

样例输入

23 31 2 12 3 23 1 34 41 2 22 3 23 4 24 1 2

样例输出

NoYes

2.Solution:

本题是次小生成树的模板题目，首先，我们需要明确

在一个图G中，我们的最小生成树是不唯一的，所以说，一个图可能存在多个权值相同的最小生成树，但是有的图G可能更加的充分，其中并不存在次小生成树，所以说，我们在这里的判断条件就是利用最小生成树和动态规划的原理判断一个图G中的最小生成树的唯一性

首先，我们证明如下：

在一个图中，我们构建次小生成树的方式就是，我们每一次都是在最小生成树上加上一条不在最小生成树上的边

我们可以利用反证法来证明，改变一定是加上之后构成的圈中的边中的权值最大的一条边

证明如下：

首先，我们假设我们目前找到了最小生成树C，那么我们在飞最小生成树上找到的这个边如果不是新构成的圈上的权值最大的边，说明，我们对于当前找到的最小生成树C完全可以通过替换成当前的不在最小生成树上的边从而进行权值的优化，那么我们就可以得到一个更优的最小生成树，这是胡，我们的得到的结论和我们的假设是矛盾的，所以说我们不在最小生成树上的班在新构成的圈中必定是权值最大的一条边

那么在这里，我们就会发现我们的次小生成树的构建方法了

我们枚举每一条不在最小生成树上的边，必定会构成一个圈，我们将圈中的第二大的边（没有构成圈时的路径上的最大的边）删去可以的到一个新的生成树，我们枚举所有的非最小生成树的边找到的最小值就是我们的次小生成树的情况

在本题中，我们的如果次小生成树如果和我们的次小生成树的权值和我们的最小生成树的权值相同的说明我们的最小生成树的构建情况是不唯一的，这是后我们根据题意进行相应的处理就好了

在这里我们的利用动态规划的原理

定义状态：

dp[I][J]：i到j路径上的路径中的边的权值的最大值

状态转移方程：

dp[i][minpoint]=max(dp[i][pre[minpoint]],dis[minpoint])    minpoint是我们的当前的最小生成树算法中Prim当前挑选出来的距离生成树最近的节点

3.Code:

#include"iostream"#include"cstdio"#include"cstring"#include"cstdlib"#include"algorithm"#define N 505 #define INF 0x3fffffffusing namespace std;int n,m;int map[N][N];bool book[N][N];bool vis[N];int dis[N];int pre[N];int dp[N][N];void init_map(){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(i!=j) map[i][j]=INF;else map[i][j]=0;}}}bool Prim(){for(int i=1;i<=n;i++) {dis[i]=map[1][i];if(dis[i]!=INF) pre[i]=1;}memset(vis,0,sizeof(vis));memset(book,0,sizeof(book));for(int i=1;i<=n;i++) book[i][i]=1;vis[1]=1;memset(dp,0,sizeof(dp));int sum_1=0;int sum_2=0;for(int i=1;i<=n-1;i++){int mink=INF;int minpoint;for(int j=1;j<=n;j++){if(vis[j]==0&&dis[j]<mink){mink=dis[j];minpoint=j;}}vis[minpoint]=1;sum_1+=dis[minpoint];book[minpoint][pre[minpoint]]=book[pre[minpoint]][minpoint]=1;for(int j=1;j<=n;j++){if(vis[j]){dp[minpoint][j]=dp[j][minpoint]=max(dp[j][pre[minpoint]],dis[minpoint]);}} for(int j=1;j<=n;j++){if(vis[j]==0 && dis[j]>map[minpoint][j]){dis[j]=map[minpoint][j];pre[j]=minpoint;} }}sum_2=INF;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(!book[i][j]&&map[i][j]!=INF){sum_2=min(sum_1+map[i][j]-dp[i][j],sum_2);book[i][j]=book[j][i]=1;}}}if(sum_2==sum_1) return true;else return false;}int main(){int t;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d%d",&n,&m);init_map();for(int i=1;i<=m;i++){int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);if(z<map[x][y]) map[x][y]=map[y][x]=z;}if(Prim()) printf("Yes\n");else printf("No\n");} return 0;}