洛谷 P2822 组合数问题
来源:互联网 发布:东华软件应收账款 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 03:20
Noip2016提高组day2 T1
题目描述
组合数表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子,从(1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有(1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定 义,我们可以给出计算组合数的一般公式:
其中n! = 1 × 2 × · · · × n
小葱想知道如果给定n,m和k,对于所有的0 <= i <= n,0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足是k的倍数。
输入输出格式
输入格式:第一行有两个整数t,k,其中t代表该测试点总共有多少组测试数据,k的意义见 【问题描述】。
接下来t行每行两个整数n,m,其中n,m的意义见【问题描述】。
t行,每行一个整数代表答案。
输入输出样例
输入样例#1:1 23 3输出样例#1:
1输入样例#2:
2 54 56 7输出样例#2:
07
说明
【样例1说明】
在所有可能的情况中,只有是2的倍数。
解题思路
利用C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)和(a+b)%k=(a%k+b%k)%k两相结合可得C(n,m)%k=(C(n-1,m)%k+C(n-1,m-1)%k)%k;
由每组数据有多组(n,m)容易想到要用记忆化搜索将C(n,m)%k的结果存入二维数组cyu[n][m]中,这样就不必每求一次C(n,m)就耗费O(nm)的时间复杂度,整个程序共O(t n^2m^2)的时间复杂度,而只需O(nm)求出cyu[][],每次再耗费O(nm)统计能够被k整除(余数为零)的C(n,m)数量,这样整个程序就只需要耗费O(tnm+nm)=O(tnm)的时间复杂度了。
到目前已经得到了90分的算法。要满分还应该如何优化呢?
观察90分的算法能够发现,求余数表cyu[][]只用了O(1*mn)的时间复杂度,几乎全部时间复杂度都用于统计能整除的数量,且统计m、n大的的就一定要统计m、n小的,之前统计过的m、n小的答案未被充分利用啊!后面的数量要以前面的数量为基础,这自然就想到了用二维前缀和优化。
设f(n,m)为给定n、m的答案,可以证明f(n,m)=f(n-1,m)+f(n,m-1)-f(n-1,m-1)(画一张网格图,涂涂颜色)。
设f(n,m)为给定n、m的答案,可以证明f(n,m)=f(n-1,m)+f(n,m-1)-f(n-1,m-1)(画一张网格图,涂涂颜色)。
最后再处理一下f(n,m)的边界,100分AC!
#include<stdio.h>int k,tot;int c[2010][2010];int s[2010][2010];int main(){ int num=0; int n,m; scanf("%d%d",&tot,&k); c[0][0]=1; c[1][0]=1; c[1][1]=1; c[1][2]=1; c[1][0]=1; for(int i=1;i<2010;i++) for(int j=0;j<=i+1;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%k; for(int i=0;i<2010;i++) { s[i][0]=0; } for(int i=1;i<2010;i++) { for(int j=1;j<i;j++) { s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];//草稿本上涂方框发现的 if(c[i][j]==0) s[i][j]++;//前缀和的“标志” } s[i][i]=s[i][i-1];//边界的处理 if(c[i][i]==0) s[i][i]++; } while(tot--) { scanf("%d%d",&n,&m); if(m>n) m=n;//m大了并卵 printf("%d\n",s[n][m]); }//O(t)输出 return 0;}
0 0
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