齐肯多夫定理
来源:互联网 发布:adams导入数据 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 02:17
定理内容:
任何正整数都可以表示成若干个不连续的斐波那契数(不包括第一个斐波那契数)之和。
以F(n)来表示第n个斐波那契数。m为任意正整数。
当m=1,2,3时,因为1=F(2),2=F(3),3=F(4),所以命题成立。下面采用数学归纳法证明定理对任何m均成立。
假设定理对任何小于m的正整数数都成立。下证命题对m也成立。
(1)若m是斐波那契数,则命题对m也成立。
(2)若m不是斐波那契数,设n1是满足F(n1)< m < F(n1 +1)的最大正整数。
设m'=m-F(n1),则m'=m-F(n1)<F(n1+1)-F(n1)=F(n1-1),即m'<F(n1-1)。
m'<m,所以由归纳假设,m'可以表示成不连续的斐波那契数之和,即m'=F(n2)+F(n3)+...+F(nt),其中n2>n3>...>nt,且是不连续的整数。又m'<F(n1-1),所以n2<n1-1,即n2与n1也是不连续的整数。
故m=F(n1)+m'=F(n1)+F(n2)+F(n3)+...+F(nt),且n1>n2>...>nt是不连续的整数。
因此,命题对m也成立。
综合(1)(2),由数学归纳法,齐肯多夫定理对任何正整数m都成立。
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