算法（第4版） 学习笔记一——求最大公约数

算法是解决某种问题的方法，这种方法与编程语言无关。

要定义一个算法，首先可以用自然语言将它描述出来，再将它转成编程语言。

求最大公约数问题的自然语言算法描述：

计算两个非负整数p和q的最大公约数：若q是0，则最大公约数为p。否则，将p除以q得到余数r，p和q的最大公约数即为q和r的最大公约数。

证明：

假设p比q大，那么
p = kq + r………………(1)
k为p除以q得到的商，r为余数，这里的r不为0
假设p和q的其中一个公约数为x，那么
p = mx………………(2)
q = nx………………(3)
将(2)和(3)代入(1)，可得到
mx = knx + r………………(4)
两边同除以x，得到
m = kn + r/x………………(5)
因为m、k和n都是正整数，所以r/x也是正整数。
换句话说，p和q的任意一个公约数都可以整除r，所以p、q、r的所有公约数相等，那么最大公约数也相等，那么求p和q的最大公约数就可以转化为求q和r的最大公约数。

java语言描述

//此方法默认p>qpublic static int gcd(int p, int q) {    if(q==0) return p;    int r = p % q;    return gcd(q, r);}