独立与条件独立
来源:互联网 发布:上海财经大学男生 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 23:53
事件间的条件独立(三个事件之间)条件弱于两个事件间的独立。
条件有时为不独立的事件之间带来独立(gain independence),有时也会把本来独立的事件,因为此条件的存在,而失去独立性(lose independence),如下(本身,
P(XY)=P(X)P(Y) ,二者独立);P(X,Y∣∣C)≠P(X|C)P(Y|C)
事件独立时,联合概率等于概率的乘积。这是一个非常好的数学性质,然而不幸的是,无条件的独立是十分稀少的,因为大部分情况下,事件之间都是互相影响的。然而,通常这种影响又往往依赖于其他变量而不是直接产生。由此我们引入条件独立(conditional independent,CI)。给定
也即
例如,定义如下事件:
X :明天下雨;Y :今天的地面是湿的;Z :今天是否下雨;
1. 相关证明
等式两边同时对
两式相乘
等式两边同时对
因此等式成立。
2. 离散型随机变量独立性的判断
独立性的判断即是判断上述等式是否成立。
两随机变量的联合概率分布以及各个概率分布(marginalized):
由此可知,
3. 条件独立举例
比如两枚硬币,一枚均匀(fair),一枚(biased,0.9 的概率为正,0.1 的概率为反面)。做如下操作,首先随机选择一枚硬币,然后投掷两次(tosses),现定义如下三个随机变量:
C :随机选择一枚硬币;X1 :第一次投掷的正反面情况;X2 :第二次投掷的正反面情况;
考虑现在做第一次投掷,
4. 条件独立与马尔科夫性
P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)⇒P(B|AC)=P(B|C) - C:事件表示现在;
- A:事件表示过去;
- B:事件表示未来;
- 这样在条件独立的前提下,
P(B|AC)=P(B|C) 未来发生的概率只有现在有关,而与过去无关;
- 这样在条件独立的前提下,
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