折纸问题与二叉树

【题目】

请把纸条竖着放在桌⼦上，然后从纸条的下边向上⽅对折，压出折痕后再展 开。此时有1条折痕，突起的⽅向指向纸条的背⾯，这条折痕叫做“下”折痕 ；突起的⽅向指向纸条正⾯的折痕叫做“上”折痕。如果每次都从下边向上⽅ 对折，对折N次。请从上到下计算出所有折痕的⽅向。
给定折的次数n,请返回从上到下的折痕的数组，若为下折痕则对应元素为"down",若为上折痕则为"up".
测试样例：
1
返回：["down"]

【分析】

实际操作后，发现折纸两次的结果是下下上，多次折纸实际上是一棵二叉树。如图，就是两次折叠结果。

所以，由于在纸上看折痕都是下下上这样的顺序，所以多次折叠实际上就是二叉树右-中-左的遍历。但这道题没有提供二叉树，我们也不可能为这样一个小问题去create一个二叉树。那就用数组吧。

但是，使用数组的递归是很有技巧的，先看代码：

【代码】

class FoldPaper {public:    vector<string> foldPaper(int n) {    vector<string> res;        fold_detail(1, n, true, res);        return res;    }private:    void fold_detail(int i, const int N, bool down, vector<string>& res){        if(i > N)            return;        fold_detail(i+1, N, true, res);        res.push_back(down ? "down" : "up");        fold_detail(i+1, N, false, res);    }};

我们使用i>N来控制循环条件，实际上递归在局部看来更简单。

此图N=2

i=2时会首先以true的形式调用fold_detail(i+1, N, true, res)，结果i=3>N返回，然后会继续执行，打印一个“down”。i仍然等于2，再次以false形式调用，>N后返回但是不打印！

然后递归回去i=1，此时以ture形式再次调用第一个fold_detail()，i+1=2<3，返回自然打印down。接下来继续执行，以false形式，同样满足i+1=2<3，所以返回时会打印“up"。

现在分析，这其实就是数组右中左遍历二叉树！第一次fold_detail(true)执行完打印"down“，此时必然是右。第二次fold_detail(false)，此时理应是左，但是我们要的是右-中-左，所以不打印！然后下一步回到根，在次重复一遍过程，先fold_detail(true)，打印”down，此时就是中，即根。然后再次调用fold_detail(i+1,N, false, RES)，+1后不会超过N，所以会打印，此时就是”up"了！

局部如此，放大后也是如此！