[51nod1299]监狱逃离

Description

给出一个n+1个点n条边的树，其中每一个度数为1的点为出口。
现在有一些点有逃犯，你需要在一些没有逃犯的点放置警卫，有警卫的点逃犯无法经过。
求若使所有逃犯均无法到达出口，最少需要多少个警卫。
n<=10^5

Solution

为什么我一眼想到最小割=w=
就是所有的逃犯无法到达一些点，那么我们把每个点拆点，x向x’连容量为1的边，割掉这条边表示在这个点放置警卫。
然后对于原图中的每一条边(x,y)，从x’向y连容量为∞的边，表示这条边无法被割掉。
同理从S向每个有逃犯的x’点连容量为∞的边，因为无法在有逃犯的点放置警卫。
然后从每个出口的x’点向T连容量为∞的边，因为可以在出口放置警卫。
然后跑一边最小割就是答案了。如果最小割为∞就是无解。
200000个点的最大流什么的真是梦想_ (:зゝ∠)_
然而它碾过去了2333

好吧我们来讨论正解=w=
随便选一个度数为1的点做根节点，那么所有的出口都是根节点或者叶子节点了。
考虑从下往上递推，每个点可以有三种情况
0：这个点为根的子树中所有的逃犯都无法到达这个点，且不存在一条从这点到叶子节点的路径。
1：这个点为根的子树中所有的逃犯都无法到达这个点，但存在一条从这点到叶子节点的路径。
2：这个点为根的子树中所有的逃犯有可能到达这个点，且不存在一条从这点到叶子节点的路径。
那么考虑一个点，如果它的所有儿子都被封死了（就是状态0），那么它自己也就被封死了。
如果这个点有逃犯，那么这个点一下的1点都必须被封死，要不然逃犯可以通过这个点到叶子节点，所以答案加上当前节点状态为1的儿子个数。
否则如果当前点既有状态为1的儿子，又有状态为2的儿子，那么2的逃犯就可以到达这个点，然后从这个点往下逃走。
所以这个点必须被封死。
否则就是只有0\1，0\2的情况，那么除0外是几这个点的状态就是几。
最后如果根节点的状态为2根节点也要封死。

Code

最小割

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define rep(i,a) for(int i=last[a];i;i=next[i])using namespace std;const int N=2*1e5+5,inf=1e5;int n,m,S,T,l,x,y,ans,dis[N],d[N],r[N];int t[N*8],next[N*8],f[N*8],last[N];void add(int x,int y,int z) {    t[++l]=y;f[l]=z;next[l]=last[x];last[x]=l;    t[++l]=x;f[l]=0;next[l]=last[y];last[y]=l;}bool bfs() {    memset(dis,0,sizeof(dis));dis[S]=1;    int i=0,j=1;d[1]=S;    while (i<j) rep(k,d[++i])         if (!dis[t[k]]&&f[k]) dis[t[k]]=dis[d[i]]+1,d[++j]=t[k];    return dis[T];}int dinic(int x,int y) {    if (x==T) return y;    int now=0;    rep(i,x) if (f[i]&&dis[t[i]]==dis[x]+1) {        int k=dinic(t[i],min(y,f[i]));        y-=k;now+=k;f[i]-=k;f[i^1]+=k;        if (!y) break;    }    if (!now) dis[x]=-1;    return now;}int main() {    scanf("%d%d",&n,&m);n++;S=0;T=2*n+1;l=1;    fo(i,1,n-1) {        scanf("%d%d",&x,&y);x++;y++;        add(x+n,y,inf);add(y+n,x,inf);        r[x]++;r[y]++;    }    fo(i,1,m) scanf("%d",&x),x++,add(S,x+n,inf);    fo(i,1,n) if (r[i]==1) add(i+n,T,inf);    fo(i,1,n) add(i,i+n,1);    while (bfs()) ans+=dinic(S,inf);    if (ans>=inf) printf("-1\n");    else printf("%d\n",ans);}

Dp

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define rep(i,a) for(int i=last[a];i;i=next[i])using namespace std;const int N=1e5+5;int n,m,l,x,y,ans,d[N],f[N];int t[N*2],next[N*2],last[N];bool bz[N];void add(int x,int y) {    t[++l]=y;next[l]=last[x];last[x]=l;}void dfs(int x,int y) {    int s[3];memset(s,0,sizeof(s));    rep(i,x) if (t[i]!=y) {        dfs(t[i],x);        s[f[t[i]]]++;    }    if (bz[x]) {        ans+=s[1];        f[x]=2;    } else if (s[1]&&s[2]) {        ans++;        f[x]=0;    } else if (s[1]) f[x]=1;    else if (s[2]) f[x]=2;    else if (s[0]) f[x]=0;}int main() {    scanf("%d%d",&n,&m);n++;    fo(i,1,n-1) {        scanf("%d%d",&x,&y),x++,y++;        add(x,y),add(y,x);        d[x]++;d[y]++;    }    fo(i,1,n) f[i]=1;    fo(i,1,m) {        scanf("%d",&x),x++;        if (d[x]==1) {printf("-1\n");return 0;}        bz[x]=1;    }    fo(i,1,n) if (d[i]==1) {        dfs(i,0);        if (f[i]==2) ans++;        break;    }    printf("%d\n",ans);}