UVa 10870 Recurrences (矩阵快速幂)

UVa 10870 Recurrences

题目大意:

f(n)=a1f(n−1)+a2f(n−2)+a3f(n−3)+...+adf(n−d).
给出a1~ad,f(1)~f(d),n,m,求f(n)%m.
(1≤d≤15,1≤n≤231−1,1≤m≤46340)

题目分析:

若选择递推计算的话,时间复杂度为O(nd),显然会超时.
现在已知f(n)的递推式,则可以构造矩阵

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢000ad100ad−1010ad−2001...ad−3............000a1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥,Fn=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢f(n−d)...f(n−2)f(n−1)f(n)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Fn=A×Fn−1

Fn=An−d×Fd

那么现在只需要算出An−d即可,可以用快速幂加速,时间复杂度为O(d3log(n−d))

代码:

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const int maxn=20;int d,n,MOD;struct Matrix {//定义结构体Matrix,重载乘法运算符,便于计算     int n,m;    ll M[maxn][maxn];    Matrix(){memset(M,0,sizeof(M));n=m=0;}    Matrix(int n,int m):n(n),m(m){memset(M,0,sizeof(M));}    Matrix operator * (const Matrix& rhs) const {        Matrix ret(n,rhs.m);        for(int i=1;i<=n;i++)            for(int j=1;j<=rhs.m;j++) {                for(int k=1;k<=m;k++)                    ret.M[i][j]+=M[i][k]*rhs.M[k][j];                ret.M[i][j]%=MOD;            }        return ret;    }    Matrix operator *= (const Matrix& rhs) {        return *this=*this*rhs;    }};Matrix qpow(Matrix x,int y)//矩阵快速幂 {    Matrix ret(x.n,x.m);    for(int i=1;i<=ret.n;i++) ret.M[i][i]=1;    while(y>0) {        if(y&1) ret*=x;        x*=x;y>>=1;    }    return ret;}int main(){    while(scanf("%d%d%d",&d,&n,&MOD)==3&&d) {        Matrix A(d,d),F(d,1);        for(int i=1;i<d;i++) A.M[i][i+1]=1;        for(int i=d;i>=1;i--) scanf("%lld",&A.M[d][i]),A.M[d][i]%=MOD;//注意系数a是倒着存放的         for(int i=1;i<=d;i++) scanf("%lld",&F.M[i][1]),F.M[i][1]%=MOD;        A=qpow(A,n-d);        F=A*F;        printf("%lld\n",F.M[d][1]);    }    return 0;}