bzoj 2597: [Wc2007]剪刀石头布（费用流）

2597: [Wc2007]剪刀石头布

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Description

在一些一对一游戏的比赛（如下棋、乒乓球和羽毛球的单打）中，我们经常会遇到A胜过B，B胜过C而C又胜过A的有趣情况，不妨形象的称之为剪刀石头布情况。有的时候，无聊的人们会津津乐道于统计有多少这样的剪刀石头布情况发生，即有多少对无序三元组(A, B, C)，满足其中的一个人在比赛中赢了另一个人，另一个人赢了第三个人而第三个人又胜过了第一个人。注意这里无序的意思是说三元组中元素的顺序并不重要，将(A, B, C)、(A, C, B)、(B, A, C)、(B, C, A)、(C, A, B)和(C, B, A)视为相同的情况。

有N个人参加一场这样的游戏的比赛，赛程规定任意两个人之间都要进行一场比赛：这样总共有场比赛。比赛已经进行了一部分，我们想知道在极端情况下，比赛结束后最多会发生多少剪刀石头布情况。即给出已经发生的比赛结果，而你可以任意安排剩下的比赛的结果，以得到尽量多的剪刀石头布情况。

Input

输入文件的第1行是一个整数N，表示参加比赛的人数。

之后是一个N行N列的数字矩阵：一共N行，每行N列，数字间用空格隔开。

在第(i+1)行的第j列的数字如果是1，则表示i在已经发生的比赛中赢了j；该数字若是0，则表示在已经发生的比赛中i败于j；该数字是2，表示i和j之间的比赛尚未发生。数字矩阵对角线上的数字，即第(i+1)行第i列的数字都是0，它们仅仅是占位符号，没有任何意义。

输入文件保证合法，不会发生矛盾，当i≠j时，第(i+1)行第j列和第(j+1)行第i列的两个数字要么都是2，要么一个是0一个是1。

Output

输出文件的第1行是一个整数，表示在你安排的比赛结果中，出现了多少剪刀石头布情况。

输出文件的第2行开始有一个和输入文件中格式相同的N行N列的数字矩阵。第(i+1)行第j个数字描述了i和j之间的比赛结果，1表示i赢了j，0表示i负于j，与输入矩阵不同的是，在这个矩阵中没有表示比赛尚未进行的数字2；对角线上的数字都是0。输出矩阵要保证合法，不能发生矛盾。

Sample Input

3
0 1 2
0 0 2
2 2 0

Sample Output

1
0 1 0
0 0 1
1 0 0

HINT

100%的数据中，N≤ 100。

Source

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题解：费用流

最大化(A,B,C)三元组的数量其实就是最小化不满足(A,B,C)的数量。

如果满足(A,B,C)那么三个人各赢了一次，如果不满足的话只需要让其中一个人赢两次即可。

那么容易求出不满足(A,B,C)的数量就是sigma w[i]*(w[i]-1)/2 ，其中w[i]表示的是第i个人赢的总场数。

现在考虑如果最小化上式的值。先考虑求出一个合法的分配方案。

对应没有确定输赢的对决c(i,j)建立节点，每个人pi

s->c(i,j) 容量为1

c(i,j)->pi 容量为1

c(i,j)->pj 容量为1

pi->T 容量为n-1-w[i]，因为每次人最多打n-1场,已经赢了w[i]场，那么最多再赢n-1-w[i]场。

这样我们只要最后看c(i,j)->pi,c(i,j)->pj那一条边满流就能确定出i,j谁胜谁负，从而确定合法的方案。

那如果我们现在要求sigma w[i]*(w[i]-1)/2最小呢？可以将某些边加上费用。

pi->T因为我们不确定最终会再赢多少场，每赢一场增加的费用是不同，对于第i场，再i-1场的基础上再赢一场，会增加i*(i-1)/2-(i-1)*(i-2)/2 ,所以我们考虑拆边，将容量都设为1，然后费用依次是i*(i-1)/2-(i-1)*(i-2)/2。注意刚开始已经赢的w[i]也要算上。

#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cmath>#include<queue>#define N 203#define M 100003#define inf 1000000000using namespace std;int a[N][N],n,map[N][N],s,t,tot,pos[N][N];int point[M],next[M],v[M],remain[M],c[M],dis[M],can[M];int last[M],cur[M],deep[M],num[M],w[M],ans;void add(int x,int y,int z,int k){tot++; next[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; remain[tot]=z; c[tot]=k;tot++; next[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x; remain[tot]=0; c[tot]=-k;//cout<<x<<" "<<y<<" "<<z<<" "<<k<<endl;}int addflow(int s,int t){int now=t; int ans=inf;while (now!=s) {ans=min(ans,remain[last[now]]);now=v[last[now]^1];}now=t;while (now!=s) {remain[last[now]]-=ans;remain[last[now]^1]+=ans;now=v[last[now]^1];}return ans;}bool spfa(int s,int t){queue<int> p;for (int i=s;i<=t;i++) dis[i]=inf,can[i]=0;dis[s]=0; can[s]=1; p.push(s);while (!p.empty()) {int now=p.front(); p.pop();for (int i=point[now];i!=-1;i=next[i]) if (dis[v[i]]>dis[now]+c[i]&&remain[i]){ dis[v[i]]=dis[now]+c[i]; last[v[i]]=i; if (!can[v[i]]) { can[v[i]]=1; p.push(v[i]); } }can[now]=0;}if (dis[t]==inf) return false; int flow=addflow(s,t);ans+=flow*dis[t];return true;}void solve(int s,int t){while (spfa(s,t));}int main(){freopen("a.in","r",stdin);scanf("%d",&n);int cnt=1;s=1;tot=-1;memset(point,-1,sizeof(point));for (int i=1;i<=n;i++)  for (int j=1;j<=n;j++)  {  scanf("%d",&a[i][j]);  if (a[i][j]==1)  w[i]++;  else if(a[i][j]==2&&i<j) map[i][j]=++cnt;     }    /*for (int i=1;i<=n;i++){ for (int j=1;j<=n;j++)  printf("%d ",map[i][j]); printf("\n"); }*/    int base=n*n+1;    for (int i=1;i<=n-1;i++)     for (int j=i+1;j<=n;j++)      if (map[i][j]) {       add(s,map[i][j],1,0);       add(map[i][j],base+i,1,0); pos[i][j]=tot;       add(map[i][j],base+j,1,0);  }t=base+n+1;for (int i=1;i<=n;i++)  { int t1=w[i]-1; ans+=w[i]*(w[i]-1)/2; for (int j=1;j<=n-1-w[i];j++)  add(base+i,t,1,t1+j); }solve(s,t);printf("%d\n",n*(n-1)*(n-2)/6-ans);for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++)  if (map[i][j]) {  int k=remain[pos[i][j]^1];  if (k) a[i][j]=0,a[j][i]=1;  else a[i][j]=1,a[j][i]=0;  }for (int i=1;i<=n;i++){ for (int j=1;j<=n;j++)  printf("%d ",a[i][j]); printf("\n"); }}