【BZOJ 2038】小Z的袜子

题目来源：BZOJ 2038

思路：

莫队算法。
先考虑计算答案的表达式，如果一种颜色xi有yi个，那么，在一段[l,r]的区间中

ans=C2yiC2r−l+1=yi!2!(yi−2)!∗2!(r−l+1)!(r−l+1)!=yi∗(yi−1)(r−l+1)∗(r−l)

分式下面的值为常数，所以说我们现在要求的就是分子的部分。

（下面转自hzwer的博客）

如果我们已知[l,r]的答案，能在O(1)时间得到[l+1,r]的答案以及[l,r−1]的答案，即可使用莫队算法。时间复杂度为O(n1.5)。如果只能在logn的时间移动区间，则时间复杂度是O(n1.5∗logn)。
其实就是找一个数据结构支持插入、删除时维护当前答案。
这道题的话我们很容易用数组来实现，做到O(1)的从[l,r]转移到[l,r+1]与[l+1,r]。
转移具体的代码：

void update(int p, int k){    res -= s[c[p]] * (s[c[p]] - 1);    s[c[p]] += k;    res += s[c[p]] * (s[c[p]] - 1);}

那么莫队算法怎么做呢？
以下都是在转移为O(1)的基础下讨论的时间复杂度。另外由于n与m同阶，就统一写n。
如果已知[l,r]的答案，要求[l′,r′]的答案，我们很容易通过|l–l′|+|r–r′|次转移内求得。
将n个数分成n−√块。
按区间排序，以左端点所在块内为第一关键字，右端点为第二关键字，进行排序，也就是以(pos[l],r)排序。
然后按这个排序直接暴力，复杂度分析是这样的：
1. i与i+1在同一块内，r单调递增，所以r是O(n)的。由于有n0.5块,所以这一部分时间复杂度是n1.5。
2. i与i+1跨越一块，r最多变化n，由于有n0.5块，所以这一部分时间复杂度是n1.5
3. i与i+1在同一块内时l变化不超过n0.5，跨越一块也不会超过n0.5，忽略∗2。由于有m次询问（和n同级），所以时间复杂度是n1.5
于是就是O(n1.5)了

代码：

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;typedef long long ll;const int maxn = 50010;struct node{    int l, r, id; ll a, b;}v[maxn];int each, n, m, res;ll c[maxn], pos[maxn], s[maxn];bool cmp(node a, node b){return pos[a.l] == pos[b.l] ? a.r < b.r : a.l < b.l;}bool cmp_id(node a, node b){return a.id < b.id;}void update(int p, int k){    res -= s[c[p]] * (s[c[p]] - 1);    s[c[p]] += k;    res += s[c[p]] * (s[c[p]] - 1);}int main(){    scanf("%d%d", &n, &m), each = (int)sqrt(n);    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &c[i]);    for(int i = 1; i <= n; i ++) pos[i] = (i-1)/each+1;    for(int i = 1; i <= m; i ++) scanf("%d%d", &v[i].l, &v[i].r), v[i].id = i;    sort(v+1, v+1+m, cmp);    for(int i = 1, l = 1, r = 0; i <= m; i ++){        for( ; r < v[i].r; r ++) update(r+1, 1);        for( ; r > v[i].r; r --) update(r, -1);        for( ; l < v[i].l; l ++) update(l, -1);        for( ; l > v[i].l; l --) update(l-1, 1);        if(v[i].l == v[i].r){v[i].a = 0, v[i].b = 1; continue;}        v[i].a = res, v[i].b = (ll)(r-l+1)*(r-l);        ll k = __gcd(v[i].a, v[i].b);        v[i].a /= k, v[i].b /= k;    } sort(v+1, v+1+m, cmp_id);    for(int i = 1; i <= m; i ++) printf("%lld/%lld\n", v[i].a, v[i].b);    return 0;}