Digimat-MF：平均场均匀化——（四）分布方向和方向分布函数

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　　在实际的短纤维增强复合材料RVE中，纤维是杂乱的，如图 1.7所示。



图1.7 RVE中杂乱的短纤维

　　首先引入一些工具来描述纤维方向。以下描述不仅限于纤维，还可应用于回转椭球体。每个夹杂体的方向用单位向量p来描述，在三维空间表述为两个球角度θ和ϕ，如图 1.8所示。



图1.8 单个夹杂体的方向

　　由于RVE中每个夹杂体的轴向量p均不相同，所以引入方向分布函数（ODF）ψ(p) 。通过定义ψ(p)dp来表示在角[p,p+dp]范围内找寻纤维的概率。
　　考虑一般情况：有N族夹杂增强的复合材料，每个夹杂通过相同的刚度、纵横比和ODF来定义：

• 基体相（域ω0）：体分比ν0，刚度C0；
• N个夹杂族(i)：νi，Ci，ARi，ODF ψi(p)。

显然，基体和所有夹杂族的体分比和为1：

ν0+∑i=1Nνi=1

　　每个ODF遵循两个条件：

ψi(p)=ψi(−p),∮ψi(p)dp=1

其中，第一个方程表示两个相反轴向量为相同的夹杂体；第二个方程是归一化条件，表示概率和为1.
　　该复合材料在Digimat-MF中分两步进行均匀化，如图1.9所示。真实的RVE被一个伪晶粒的集合来代替。每个伪晶粒占据一个区域ωi,p，是一个基本的两相复合材料，由基体相ν0和等效对齐的夹杂体集合（该集合从方向[p,p+dp]范围内的夹杂族组合而成）组成 。

1. 每个伪晶粒通过适用于两相复合材料的MFH模型（如Mori-Tanaka或者interpolative Double inclusion）来进行均匀化；
2. 计算均匀化后的伪晶粒的有效响应。在当前版本的Digimat-MF中，该步应用的是Voigt模型。尽管Voigt模型不适用于真实的复合材料，但对于本模型，我们的经验表明预测精度较高，即使在最通常的情况下N=1。
   
   
   
   图1.9 适用于无序夹杂复合材料的两步均匀化程序。上：真实RVE。左中：分解为伪晶粒的集合。下：每个伪晶粒的均匀化（第一步）。右中：均匀化伪晶粒集合的均匀化（第二步）
   

【本文译自Digimat-MF帮助文档。】