动态规划：最长回文字符串

题目：请从一个已知的字符串中寻找最长回文字符串

解法1:动态规划

回文字符串的子串也是回文，比如P[i,j]（表示以i开始以j结束的子串）是回文字符串，那么P[i+1,j-1]也是回文字符串。这样最长回文子串就能分解成一系列子问题了。这样需要额外的空间O（N^2)，算法复杂度也是O(N^2)。

     状态方程和转移方程：

1.       P[i, j] = P[i+1, j-1]， if ( s[i]==s[j] )
2.       P[i, j] = 0，if ( s[i] != s[j] )

其中P[i,j]=0表示子串[i,j]不是回文串；P[i,j]=1表示子串[i,j]是回文串。该状态转移方程很特别，是一个条件不等式，这也是动态规则非常典型的一种状态转移方程。

string findLongestPalindrome(string &s){const int length=s.size();int maxlength=0;int start;bool P[50][50]={false};for(int i=0;i<length;i++)//初始化准备{P[i][i]=true;if(i<length-1&&s.at(i)==s.at(i+1)){P[i][i+1]=true;start=i;maxlength=2;}}for(int len=3;len<length;len++)//子串长度for(int i=0;i<=length-len;i++)//子串起始地址{int j=i+len-1;//子串结束地址if(P[i+1][j-1]&&s.at(i)==s.at(j)){P[i][j]=true;maxlength=len;start=i;}}if(maxlength>=2)return s.substr(start,maxlength);return NULL;}

解法二：中心扩展法

中心扩展就是把给定的字符串的每一个字母当做中心，向两边扩展，这样来找最长的子回文串。算法复杂度为O(N^2)。

但是要考虑两种情况：

1、像aba，这样长度为奇数。

2、想abba，这样长度为偶数。

string findLongestPalindrome(string &s){const int length=s.size();int maxlength=0;int start;for(int i=0;i<length;i++)//长度为奇数{int j=i-1,k=i+1;while(j>=0&&k<length&&s.at(j)==s.at(k)){if(k-j+1>maxlength){maxlength=k-j+1;start=j;}j--;k++;}}for(int i=0;i<length;i++)//长度为偶数{int j=i,k=i+1;while(j>=0&&k<length&&s.at(j)==s.at(k)){if(k-j+1>maxlength){maxlength=k-j+1;start=j;}j--;k++;}}if(maxlength>0)return s.substr(start,maxlength);return NULL;}