逆元 递推求逆元
来源:互联网 发布:当今社会如何致富知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/02 01:20
其实有些题需要用到1-p模p的所有逆元,这里p为奇质数。那么如果用快速幂求时间复杂度为O(p log(p)),
如果对于一个1000000级别的素数,这样做的时间复杂度是很高了。实际上有的算法,有一个递推式如下
inv[i]=(M-M/i)*inv[M%i]%M (其中M为模数,要求为奇质数)
它的推导过程如下:
设t=M/i,k=M%i,那么 t*i+k≡0(Mod M) -t*i≡k(Mod M)对上式两边同时除 i×k,进一步得到 -t*inv[k]≡inv[i](Mod M)再把和替换掉,最终得到 inv[i]=(M-M/i)*inv[M%i]%M
初始化inv[1]=1,这样就可以通过递推法求出模素数的所有逆元了。
另外1-p模的所有逆元值对应1-p中所有的数,比如p=7,那么对应的逆元是1 4 5 2 3 6。
代码:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cmath> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; int A[100001]; int p; int main() { cin>>p; A[1]=1; for(int i=2;i<=10;i++) { A[i]=(p-(p/i))*A[p%i]%p; printf("%d %d %d\n",i,A[i],(i*A[i])%p); } }
顺便复习一下逆元:
方法1:扩展欧几里得。 ax=1(mod P), gcd(a,p)=1, 其中x为a的逆元,就是我们所求,ax=PY+1, ax-Py=1, 所以用扩展欧几里得可以求出x。方法2:费马小定理: 如果模P是素数的话,那么inv(a)=pow(a,p-2)%p; 等式右边用快速幂运算可以得出。
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