2016.12概率统计参考复习题

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考试 题型 ：
一、判断题 ，20 分，每题 2分
二、填空题 ，10 分，每题 2分
三、选择题 ，20 分，每题 2分
四、证明题 ，10 分
五、计算题 ，40 分，每题 10 分
复习 重点 提示 ：
 概率 及条件 概率 的定义与 定义与 性质 ，一些基本的概念 ，一些基本的概念 ，一些基本的概念 ，一些基本的概念 ，一些基本的概念 ，加法 ，加法 与乘法公式 乘法公式 乘法公式 、全概率公 全概率公 全概率公 式、贝叶斯公式的理解与应用 贝叶斯公式的理解与应用 贝叶斯公式的理解与应用 贝叶斯公式的理解与应用 贝叶斯公式的理解与应用 贝叶斯公式的理解与应用 贝叶斯公式的理解与应用 贝叶斯公式的理解与应用
 常见的概率分布 常见的概率分布 常见的概率分布 常见的概率分布 常见的概率分布 （六种，记号表示分布律与概率密度函数） （六种，记号表示分布律与概率密度函数） （六种，记号表示分布律与概率密度函数） （六种，记号表示分布律与概率密度函数） （六种，记号表示分布律与概率密度函数） （六种，记号表示分布律与概率密度函数） （六种，记号表示分布律与概率密度函数） （六种，记号表示分布律与概率密度函数） （六种，记号表示分布律与概率密度函数） （六种，记号表示分布律与概率密度函数） （六种，记号表示分布律与概率密度函数） （六种，记号表示分布律与概率密度函数） ，期望 方差 计算 公 式以及 相关结论 相关结论 相关结论
 二维随机变量 联合分布，边缘等相关 联合分布，边缘等相关 联合分布，边缘等相关 联合分布，边缘等相关 联合分布，边缘等相关 联合分布，边缘等相关 联合分布，边缘等相关 计算 问题 ，二维 正态 分布
 相互独立的定义及性质、 相互独立的定义及性质、 相互独立的定义及性质、 相互独立的定义及性质、 相互独立的定义及性质、 相互独立的定义及性质、 相互独立的定义及性质、 相互独立的定义及性质、 相互独立的定义及性质、 与其他概念的关系问题 与其他概念的关系问题 与其他概念的关系问题 与其他概念的关系问题 与其他概念的关系问题 与其他概念的关系问题 ，随机变量 随机变量 随机变量 相互 独立 性的判定
 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 随机变量的分布律（概率密度函数）与定义 ，性质及计算问题 性质及计算问题 性质及计算问题 性质及计算问题 性质及计算问题
 随机变量数字特征的定义 随机变量数字特征的定义 随机变量数字特征的定义 随机变量数字特征的定义 随机变量数字特征的定义 随机变量数字特征的定义 随机变量数字特征的定义 及其所表示的含义 及其所表示的含义 及其所表示的含义 及其所表示的含义 及其所表示的含义 ，基本 性质及计算、 性质及计算、 性质及计算、 常见分布的数 常见分布的数 常见分布的数 常见分布的数 常见分布的数 学期望与方差公式 学期望与方差公式 学期望与方差公式 学期望与方差公式 学期望与方差公式 学期望与方差公式 学期望与方差公式 ，协方差相关系数 ，协方差相关系数 ，协方差相关系数 ，协方差相关系数 ，协方差相关系数
 大数定律 ，中心极限定理的解及依概率收敛、 中心极限定理的解及依概率收敛、 中心极限定理的解及依概率收敛、 中心极限定理的解及依概率收敛、 中心极限定理的解及依概率收敛、 中心极限定理的解及依概率收敛、 中心极限定理的解及依概率收敛、 中心极限定理的解及依概率收敛、 中心极限定理的解及依概率收敛、 中心极限定理的解及依概率收敛、 利用中心极限定理计算 利用中心极限定理计算 利用中心极限定理计算 利用中心极限定理计算 利用中心极限定理计算 利用中心极限定理计算 利用中心极限定理计算
 数理统计中的一些基本概念、 数理统计中的一些基本概念、 数理统计中的一些基本概念、 数理统计中的一些基本概念、 数理统计中的一些基本概念、 数理统计中的一些基本概念、 数理统计中的一些基本概念、 数理统计中的一些基本概念、 数理统计中的一些基本概念、 常用 统计量 、假设检验的基本概念 假设检验的基本概念 假设检验的基本概念 假设检验的基本概念 假设检验的基本概念 （显著性水平， （显著性水平， （显著性水平， （显著性水平， 第一、二类错误等） 第一、二类错误等） 第一、二类错误等） 第一、二类错误等） 第一、二类错误等） 第一、二类错误等） 第一、二类错误等） 第一、二类错误等） 与基本 方法 、正态 总体 相关 结论
 参数估计 中点参数估计 中点参数估计 中点参数估计 中点参数估计 中点参数估计 中点量的求法 （矩估计，最大似然三个标准） （矩估计，最大似然三个标准） （矩估计，最大似然三个标准） （矩估计，最大似然三个标准） （矩估计，最大似然三个标准） （矩估计，最大似然三个标准） （矩估计，最大似然三个标准） （矩估计，最大似然三个标准） （矩估计，最大似然三个标准） （矩估计，最大似然三个标准） 与区间估计 与区间估计 与区间估计 与区间估计 的基本概念方法 的基本概念方法 的基本概念方法 的基本概念方法 的基本概念方法 的基本概念方法 （置信区间，水平 （置信区间，水平 （置信区间，水平 （置信区间，水平 （置信区间，水平 （置信区间，水平 （置信区间，水平 ，求法 ，求法 ）、统计中 统计中 三大抽样分布 三大抽样分布 三大抽样分布 三大抽样分布
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练习题！
判断题（在题前的括号内打√或×）
（ ）1. 任给两个事件 A和B ,有P(A B)  P(A)  P(B) .
（ ）2. 如果事件A , B 相互独立，则A , B 一定互不相容.
（ ）3. 已知X 为连续型随机变量，则P(X  5)  0 .
（ ）4. 已知X ~ P(3)，则D(X )  9.
（ ）5. 在假设检验中，原假设和备择假设只能有一个成立.
（ ）6.任给两个随机变量 X ,Y ，总有D(X Y)  D(X )  D(Y)。
（ ）7.若X 与Y 相互独立，则X 与Y 一定不相关。
（ ）8. 若P(ABC)  P(A)P(B)P(C)，则A, B,C相互独立。
（ ）9. 若P(A)  0 ,则A 是不可能事件。
（ ）10. 若对总体的参数进行估计，则有偏估计一定没有无偏估计好.
（ ）11. 显著性水平 的大小对假设检验的结果没有影响.
（ ）12.若P(A)  1,则 A 与任何事件都相互独立.
（ ）13.连续型随机变量的分布函数是(,) 上的左连续函数.
（ ）14.如果随机变量 ~ b(10,0.6)，则D( )  6
（ ）15.若E( )  E( )E( )，则 与 一定相互独立.
（ ）16.若 与 相互独立，则Cov( , )  0 .
（ ）17.若0    ，则 与 不一定独立.
（ ）18、 是E( )的无偏估计．
（ ）19、随机事件 A , B满足0  P(A) 1, P(B)  0 , P(B | A)  P(B | A) , 则P(AB)  P(A)P(B) .
（ ）20、一个参数的无偏估计是唯一的．
（ ）21. 任给两个事件 A和B，有P(A  B)  P(A)  P(AB) .
（ ）22. 如果事件A 发生的概率为0，则A 是不可能事件.
（ ）23. 如果事件n A , A , , A 1 2  满足   n A  A  A 1 2 ，那么n A , A , , A 1 2  就构成了全集 的一个完备事
件组.
（ ）24. 如果X b(n, p)，则X n依概率收敛于 p.
（ ）25. 统计中的“三大抽样分布”包括正态分布、2  分布和t 分布.
（ ）26. 已知随机变量 X ,Y 相互独立，X,Y, (X,Y)的分布函数分别为F(x), F( y), F(x, y) , 那么，对于任意
给定的实数x, y都有F(x, y)  F(x)F( y) .
（ ）27. 任给两个随机变量 X ,Y ，总有D(X Y)  D(X )  D(Y) .
（ ）28. 已知X ~ b(n, p)，则随机变量X的分布率为 ( ) (1 ) ( 1,2, , ) k k n k
n P X k C p p k n      .
（ ）29. 在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限这一类的定理
称为是中心极限定理.
（ ）30.若(X ,Y)服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立，当且仅当X 与Y 不相关.
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（ ）31. 如果事件 A发生，事件B就一定发生，那么P(A)  P(B) .
（ ）32. 概率为1 的事件在一次试验中一定会发生.
（ ）33. 零概率事件与任何事件相互独立.
（ ）34. 连续型随机变量的分布函数在整个实数域内都是连续的.
（ ）35. 数学期望反映了随机变量取值的集中位置.
填空题
1.在10 个产品中有8 个次品，2 个正品。现从中任取1 个，则其为次品的概率为 .
2.已知 X  b(15,0.2)，则D(X ) = .
3. 已知事件 A , B相互独立，且P(A)  0.7 , P(B)  0.8，则P(A B)  .
4.已知2 X  (15)，则D(X ) = .
5.设随机变量 X ,Y 相互独立，且 ~ (3,9), ~ (9) 2 X N Y  ，则
Y
X  3 服从自由度为 的t 分布.
6.设X ~ N(0,1) ,则 ~ 2 X 。
7.设D(X ) =4, D(Y ) =9, 0.5 XY   ，则 D(X  Y) = 。
8.设X 为随机变量， 2 D(X),E(X),E(X )都存在，则D(X ) = 。
9.设随机变量 X、Y 相互独立，且X ~ N(1,3)，Y ~ N(2,4)，Z  2X 3Y ，则D(Z)  。
10. 设随机变量 ~ ( , ) 1 2 F F n n ，则 ~
1
F
。
11.设 A, B,C为三个事件，用事件间的运算关系表示事件“A发生，B与C 不发生”为 .
12. 设P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B︱A)=0.8,则P(A∪B)= .
13. 若事件A,B 相互独立,且P(A)=0.5,P(B)=0.25,则P（A B） .
14. 设 X ～ （，2） N 5 2 ,则当c = 时,P( X <c)=P( X >c).
15.若1 2 X F(n ,n ),则
1
X
.
16. 从一个放有12 个红色球，3 个白色球的盒子中随机取出一个球，该球是白色球的概率= .
17. 已知E( X )=2，E( 2 X )=5，则D( X )= .
18. 已知 X ~ P( )，则P{X  2}= .
19. 已知 X ~ N(3,4)，则 (3) X F = .
20.一批产品有10℅的次品，现进行有放回抽样检查，共取5 件样品，恰好有3 件次品的概率=
21．已知事件A 与B 相互独立，且
1
( ) ( )
3
P A  P B  ，则P(A B)  .
22．若随机变量2 X N(2, )，则P(X  2)  __ .
23．设 X 服从均值为 2 的指数分布，Y  2X 3，则 XY  = .
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24．设总体 X ~ N(0,1)，
1 2 , , , n X X X 为来自该总体的样本，则统计计量2
1
n
i
i
X
 
.
25．在假设检验问题中，H0 不成立的情况下，样本值未落入拒绝域W，从而接受H0，称此错误为第_ __
类错误.
单项选择题
1.甲、乙两人独立向同一目标射击，甲命中的概率为0.8，乙命中的概率为0.4，则目标被击中的概率为（ ）
A、0.32 B、0.88 C、0.8 D、0.1
2.估计量的评选标准不包括下述的哪个选项（ ）
（A）无偏性 （B）收敛性 （C）相合性 （D）有效性
3.书架上一共有3 本英文书，2 本法文书，5 本中文书，从中任取一本，则取得的书是外文书的概率是（ ）
A、0.5 B、0.1 C、0.2 D、0.6
4．下列各函数是随机变量X 的分布函数的是（ ）
（A）
2
1
( ) ,
1
F x x R
x
 

（B） ( ) , x F x e x R    （C） 3 1
( ) arctan ,
4 2
F x x x R

   （D）
0, 0,
( )
, 0.
1
x
F x x
x
x
 
 
   
5．设二维随机变量(X,Y )的联合分布律为
则P(XY  0) （ ）
（A） 1
12
（B） 1
6
（C） 1
3
（D） 2
3
6.设A、B、C 为三个事件，则A、B、C 至少发生一个的事件应该表示为（ ）
A、ABC B、A B C C、ABC D、ABC
7. 已知随机变量 X ～N(3,4)，则D(X )为（ ）
（A）2 （B）12 （C）4 （D）16
8.设 ~ ( ), ~ ( ) 2
2 2
1 2
2 2
1   n   n ， 2
2
2
1  , 独立，则 ~ 2
2
2
1    （ ）
A、 ~ ( ) 2 2
2
2
1    n B、 ~ 2
2
2
1    ( 1) 2  n 
C 、~ 2
2
2
1    t(n) D、 ~ 2
2
2
1    ( ) 1 2
2  n  n
9．在假设检验中，记H0 为原假设，则第一类错误是（ ）
（A）H0 真，接收H0 （B）H0 不真，拒绝H0 （C） H0 不真，接收H0 （D）H0 真，拒绝H0
10.已知2 X ~ N(0,1),Y  X ，则下列选项正确的是（ ）
A、D(X )  0 B、E(X )  1 C、E(Y)  2 D、D(Y)  2
11. 设ξ与η为两个随机变量，则下列式子一定正确的是（ ）
A、D(  )  D( )  D() B、D()  D( )D()
C、E( )  E( )  E( ) D、E()  E( )E( )
12.己知随机变量 X ,Y 相互独立，且都服从正态分布N(2, 4) , 则（ ）
A、X  Y～N(4, 4) B、X  Y～N(4, 8)
C、 X Y～N(0, 4) D、X  Y 不服从正态分布
Y
X
0 1 2
0 1/12 1/ 6 1/ 6
1 1/12 1/12 0
2 1/ 6 1/12 1/ 6
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13 己知随机变量 X 服从二项分布b(10, 0.2) , 则方差D(X ) （ ）
A、1； B、0.5； C、0.8； D、1.6
14. 设
1 2 , , , n X X X 为来自均值为2 的泊松分布的样本， 2 S 为样本方差，则2 E(S ) =（ ）
（A） 1 （B）2 （C）3 （D）4
15. 将一枚硬币重复抛N 次，以 与 分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则 与 的相关系数等于（ ）
（A）0 （B）1 （C）1/2 （D）-1
16. 下列各项不正确的是（ ）
（A）A B C  A (B C) （B）A B  AB （C）(A B)  B  (A B) B （D）AB (AB)  
17. 下列命题正确的是（ ）
（A）如果事件A1, A2,…， An 两两相互独立，那么事件A1, A2,…， An 相互独立.
（B）如果事件P(A1 A2 … A n) = P(A1)P(A2) …P(A n)，那么事件A1, A2, …, An 相互独立.
（C）如果事件A1, A2, …, An 不相关，那么事件A1, A2, …, An 相互独立.
（D）以上说法都不对.
18. 已知 AB ,P(A) 1 3,P(B) 1 4，则（ ）
（A）P(A B) 1 12 （B）P(A)  3 4 （C）P(A B) 1 2 （D） 以上都不对
19. 已知P(B | A) 1 3,P(B) 1 3，则（ ）
（A）A,B 相互独立 （B）A,B 互不相容 （C）B  A （D） 以上都不对
20. 设随机变量XN(4,9)，则（ ）
（A）E(X )  2 （B）D(X )  3 （C）D(X )  9 （D）以上都不对
21. 指出下述四个命题哪个成立（ ）
（A）A B  (AB) B （B）AB  A B
（C）A BC  ABC （D）AB(AB)  
22. 设事件 A、B互不相容，且P(A)  p , P(B)  q，则P(AB)为（ ）
（A） p  q （B）q （C） pq （D）q  p
23. 下述命题正确的是（ ）
（A）若事件A、B 不相容，则它们相互独立； （B）若事件A、B 相互独立，则它们不相容；
（C）若事件A、B 相互独立，则它们不相关； （D）若事件A、B 不相关，则它们相互独立.
24. 已知二维随机变量(X ,Y)在区域 D {(x, y) | a  x, y  a}(a  0) 上服从均匀分布，则概率 2 2 2 P(X Y  a )
（ ）
（A）随a 的增大而增大 （B）随a 的增大而减小
（C）与a 无关，是个定值 （D）随a 的变化增减不定
25. 已知随机变量 X ～N(3,4)，则D(X )为（ ）
（A）2 （B）12 （C）4 （D）16
26.估计量的评选标准不包括下述的哪个选项（ ）
（A）无偏性 （B）收敛性 （C）相合性 （D）有效性
27. 下列命题不正确的是（ ）
（A）如果事件 A发生，事件B就一定发生，那么P(A)  P(B) .
（B）概率为0 的事件为不可能事件.
（C）连续型随机变量的分布函数在整个实数域内都是连续的.
（D）随机变量的方差反映了该变量取值的集中（或分散）程度.
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28. 已知2 X ~ N(0,1),Y  X ，则下列选项正确的是（ ）
（A）D(X )  0 （B）E(X )  1 （C）E(Y)  2 （D）D(Y)  2
29. 设随机变量(X ,Y) ~ N(3,2,1,4,0.25)，则( )
（A）Cov(X,Y)  0.5 （B）Cov(X,Y)  3 （C）Cov(X,Y)  2 （D）Cov(X,Y)  6
30. 设
1 2 , , , n X X X 是来自总体 ( , ) 2 N   的样本， 2 , 均未知，则下列随机变量为统计量的是( )
（A）   1 X （B）
n
X
n
i
i 

1
2 (  )
（C） 


 
n
X
n
i
i
1
( )
（D）

 1 X
计算题或证明题
1. 已知P(A)  0.5,P(AB)  0.2,P(B)  0.4，求P(A B) .
2. 已知随机变量 X ,Y 同分布，分布列为
X 0 1 2
P
1
2
1
4
1
4
且P(XY  0) 1,求(X ,Y)的联合概率分布率及P(X  Y) .
3.有三个罐子，1 号罐装有2 红1 黑共3 个球，2 号罐装有3 红1 黑共4 个球，3 号罐装有2 红2 黑共4 个球，
某人从中随机取一罐，再从该罐中任意取出一球，求取得红球的概率。
4. 设随机变量(X ,Y)的密度函数为



 

0, 其他
, 1
1
( , )
2 2 x y
f x y 
（1）求 f (x) X , f ( y) Y ；（2）判断X 与Y 的独立性；（3）求Cov(X ,Y) .
5. 设随机变量X 的分布律为：
X 1 2 3
k P
2  2 (1 ) 2 (1 )
其中 (0   1)为未知参数。已知取得了样本值 1, 2, 1 1 2 3 x  x  x  ，试求 的矩估计值和最大似然估计值.
6.设(X ,Y)具有概率密度函数



   

0, 其他
, 0 2,0 2
4
1
( , )
x y
f x y ，
（1）判断X 与Y 的独立性，
（2）求E(X ),E(Y),E(XY) .
7. 已知随机变量X 的分布函数为
0, 0
( ) / 4,0 4
1, 4
x
F x x x
x
 
   
  
，求E X 。
8.现有男女人数相等的人群，已知男性中有2%是色盲，女性中有0.5%是色盲，从中随机挑选一个人，发现恰
好是色盲，问此人是男性的概率是多少？
9. 已知 X ~ N(3, 4) ，求：（1）P(X  7) , （2）P(3  X  5) .（（1） 0.9772，（2） 0.8413）
10 .有三个箱子，甲箱中有2 个白球与4 个红球，乙箱中有8 个白球与4 个红球，丙箱中有1 个白球与3 个红
球，如果任取一箱，再从此箱中任取一球，求取出白球的概率.
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11.把一枚均匀硬币抛掷三次,设X 为三次抛掷中正面出现的次数, Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的
绝对值,求
(1) (X ,Y)的概率分布； (2) (X ,Y)关于X ,Y 的边缘分布； (3) X 和Y 相互独立吗？
12. 设随机变量X 的概率密度函数为
, 0 1
( )
0,
cx x
f x
  
 
其他
求（1）常数c；（2）随机变量X 的分布函数F(x) .
13．设(X,Y)的分布律为
X
Y
2 1 1 2 { } j P Y  y
1
4
0
1/4
1/4
0
1/4
0
0
1/4
1/2
1/2
{ } i P X  x 1/4 1/4 1/4 1/4 1
（1）证明X 与 Y 是不相关的。
（2）判断X 与 Y 是否独立。
14．飞机在雨天晚点的概率为0.8，在晴天晚点的概率为0.2，天气预报称明天有雨的概率为0.4，试求明天飞
机晚点的概率.
15．已知1 3 2
( ) , ( | ) , ( | )
3 5 3
P A  P B A  P A B  ，求P(B) .
16．设随机变量X 的分布律为
且Y  X (X  2)，试求：（1）X 的期望E(X )；（2）X 的方差D(X )；（3）Y的期望E(Y) .
17．设1 2 , , n X X X 是总体X 的样本，总体的概率密度为
1 0 1,
( ) ( 1)
0,
x x
f x
 

   
  
,
其它.
,试求 的最大似然估计ˆ
.
18. 设 X 与Y 为两个随机变量，且Y ~ b(1,0.5)，
0
, 0
0
1
( | )
( 1)


  

  
 
x
e x
P X x Y k
k x
，求X 的分布函数。
X 1 2 3 4
P 1/6 1/3 1/3 1/6