数值分析第四章非线性方程组求根

来源：互联网发布：解除防沉迷软件编辑：程序博客网时间：2024/05/10 21:12

压缩映射

定义4.1 压缩映射

{| φ (x 2) - φ (x 1) | = L | x 2 - x 1 | L < 1 \Rightarrow φ (x) 为 压 缩 映 射 .

性质

若φ(x)为压缩映射 ⇒φ(x)连续
${φ (x) 连续 ∣ ∣ φ' (x) ∣ ∣ ⩽ L < 1 \Rightarrow φ (x) 为压缩映射 .$

收敛

收敛条件

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ φ (x) \in C 1 [a, b] ∣ ∣ φ' (x) ∣ ∣ ⩽ L < 1 a ⩽ L ⩽ b \Rightarrow φ (x) 收 敛 于 唯 一 根 α ， α \in [a, b]

p阶收敛

定义4.2 迭代法p阶收敛

lim k \to \infty | e k + 1 | | e k | p = C \neq 0

或

| x k + 1 - α | \approx C | x k - α | p

这里

ek=xk−α.则称迭代法是p阶收敛的.

定理4.1

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ φ (x) 在 α 邻 域 内 充 分 光 滑 φ (α) = α φ' (α) = φ'' (α) = . . . = φ (p - 1) (α) = 0 φ (p) (α) \neq 0 p ⩾ 2 \Rightarrow lim k \to \infty | e k + 1 | | e k | p = 1 p ! ∣ ∣ φ (p) (α) ∣ ∣ \neq 0

Newton方法

切线法

形式

x k + 1 = x k - f ( x k ) f ' ( x k )

收敛
当

|x0−α|<2m1M2时切线法收敛，其中

m1为

f′(x)的最小值，

M2为

f′′(x)的最大值。切线法为一阶收敛（或线性收敛），即

p=1.

简单Newton法

形式

x k + 1 = x k - f ( x k ) M, M = f' (x 0)

收敛
简单Newton法为线性收敛，即

p=1.

割线法

形式

x k + 1 = x k - f ( x k ) f ( x k ) - f ( x k - 1 ) x k - x k - 1

收敛

lim k \to \infty e k + 1 e k e k - 1 = f '' ( α ) 2 f ' ( α )

割线法收敛阶为

p=1+5√2.

带参m重根

因m重根，故设f(x)=(x−α)mh(x)，对f(x)求1m次幂有[f(x)]1m=(x−α)[h(x)]1m.变成了单根。因此，便有了以下的迭代公式：
形式

x k + 1 = x k - [ f ( x ) ] 1 m ( [ f ( x ) ] 1 m ) ' = x k - m f ( x k ) f ' ( x k )

收敛
该方法为二阶收敛（或平方收敛），即

p=2.

无参m重根

设辅助函数u(x)=f(x)f′(x)=(x−α)mh(x)[(x−α)mh(x)]′=(x−α)h¯(x).
形式

x k + 1 = x k - u ( x ) u ' ( x )