poj 1191 棋盘分割(dp)

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Description

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行) 

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。 
均方差，其中平均值，x_i为第i块矩形棋盘的总分。 
请编程对给出的棋盘及n，求出O'的最小值。 

Input

第1行为一个整数n(1 < n < 15)。 
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。 

Output

仅一个数，为O'（四舍五入精确到小数点后三位）。

Sample Input

31 1 1 1 1 1 1 31 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 01 1 1 1 1 1 0 3

Sample Output

1.633

题目类型匹配：期盼分割问题，也可以看出是寻找子问题的问题，从小的个体，到大的总的个体，可以联系想到dp问题，然后在模拟操作寻找会出现的情况，子问题和父问题的联系建立状态转移方程。

对于这个题要先分析题目给出的方差公式，对公式进行化简得到σ^2=1/n∑xi^2 - E(x)^2因为E(x)是定值，所以方差的大小和xi^2有直接关系。怎样才能保证xi^2的和最小的呢，那就得遍历了，当对于一个矩阵不切割时，那么这个矩阵的积分和就是这个矩阵的值，要是把这个矩阵切一下，那么就会出现两个矩阵，对于分割开的这俩个矩阵，根据题目意思，再切得时候只能切其中的一个，因为不知道切两个中的哪个，所以要都切了进行比较才行。还有一个问题就是，切得时候是切那条线呢，横着切还是竖着切呢，因为无法直接看出来，只能把情况都列出来比较一下，保留最小的那个。

这里设一个dp数组dp[x1][y1][x2][y2][k]意思是在以（x1,y1）为左上角（x2,y2）为右下角的矩阵中切k次的最小矩阵平方和。显然，当k==0时，也就是对于这个矩阵不切时，那么就是这个这个矩阵中的各个点的值加起来平方即可。当k!=0时，dp[x1][y1][x2][y2][k]的值为对该矩阵切k次的dp，因为切的位置不确定，所以假设当在第k-1次时,

横切的位置是x且取得上部分,即dp[x1][y1][x2][y2][k]=min(dp[x1][y1][x2][y2][k]，dp[x][y1][x2][y2][k-1]+dp[x1][y1][x][y2][0])这里的dp[x1][y1][x][y2][0]的意思是横切后的下部分，因为如果要上部分，那么下部分就直接求和的平方就行，而不再进行分割（题目要求）[0]就是对它切0次，即不分割。

类似的考虑横切下部分是那么上部分就不用再切了（x1+1<=x<x2）；对于竖切是一样的道理。

#include <iostream>#include <cstring>#include <cmath>#include <cstdio>using namespace std;int s[10][10];int a[10][10];int dp[10][10][10][10][20];int comnum(int x1,int y1,int x2,int y2){    ///计算矩阵的积分和    int sum=0;    sum+=s[x2-1][y2-1];    if(x1>0)sum-=s[x1-1][y2-1];    if(y1>0)sum-=s[x2-1][y1-1];    if(x1>0&&y1>0)sum+=s[x1-1][y1-1];    return sum;}void dfs(int x1,int y1,int x2,int y2,int k){    if(dp[x1][y1][x2][y2][k]!=-1)return ;    dp[x1][y1][x2][y2][k]=0x3f3f3f3f;///求最小值，初始为最大    if(k==0)///不切时直接求它的积分平方和    {        int t=comnum(x1,y1,x2,y2);        dp[x1][y1][x2][y2][0]=t*t;        return ;    }    ///横切    for(int i=x1+1; i<x2; i++)    {        ///切成两部分后，对一部分再切，另一部分不动，直接加平方和，也就是这一部分切0次        dfs(i,y1,x2,y2,k-1);        dfs(x1,y1,i,y2,0);        dp[x1][y1][x2][y2][k]=min(dp[x1][y1][x2][y2][k],dp[i][y1][x2][y2][k-1]+dp[x1][y1][i][y2][0]);        ///切另一部分的话        dfs(x1,y1,i,y2,k-1);        dfs(i,y1,x2,y2,0);        dp[x1][y1][x2][y2][k]=min(dp[x1][y1][x2][y2][k],dp[i][y1][x2][y2][0]+dp[x1][y1][i][y2][k-1]);    }    ///竖切    for(int j=y1+1; j<y2; j++)    {        dfs(x1,j,x2,y2,k-1);        dfs(x1,y1,x2,j,0);        dp[x1][y1][x2][y2][k]=min(dp[x1][y1][x2][y2][k],dp[x1][j][x2][y2][k-1]+dp[x1][y1][x2][j][0]);        dfs(x1,j,x2,y2,0);        dfs(x1,y1,x2,j,k-1);        dp[x1][y1][x2][y2][k]=min(dp[x1][y1][x2][y2][k],dp[x1][j][x2][y2][0]+dp[x1][y1][x2][j][k-1]);    }}int main(){    int n;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        memset(dp,-1,sizeof(dp));        memset(s,0,sizeof(s));        double sum=0;        for(int i=0; i<8; i++)        {            for(int j=0; j<8; j++)            {                scanf("%d",&a[i][j]);                sum+=a[i][j];                s[i][j]=a[i][j];///s计算从左上角到i,j的矩阵积分和                if(i>0)s[i][j]+=s[i-1][j];                if(j>0)                {                    s[i][j]+=s[i][j-1];                    if(i>0)s[i][j]-=s[i-1][j-1];                }            }        }        double av=sum/n;        dfs(0,0,8,8,n-1);        //cout<<dp[][][][][]        double re=dp[0][0][8][8][n-1];///这里要转化为double后才可以带入公式，不然不准确        printf("%.3f\n",sqrt(re/n-av*av));///c++提交用%f    }    return 0;}