【POJ2186】Popular Cows 有向图强连通分量详解（再水一篇怕被骂、、所以。。）

很多人跟我说的是，我裤子都脱了，你就给我看前面几篇文章？
好吧，好吧，我比较仁慈
这次就来个高大上点的
说一下有向图强连通分量。。。

有向图强连通分量是个嘛子啊（虽然博主是个东北人）

有向图强连通分量：在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

博主很懒，上段的定义我坦白是摘自百度百科，很好理解吧，这里就不细讲了

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点 1,2,3,4 两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量

那么下面讲一下求有向图强连通分量的Tarjan算法（%Tarjan大佬）

Tarjan 算法是基于对图深度优先搜索(DFS)的算法， 每个强连通分量为搜索树中的一棵子树 （ 的一部分 ）。搜索时，把当前搜索树中未处理的结点加入一个栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的结点是否为一个强连通分量。
DFS 过程中遇到的四种边：
1.树枝边：DFS 时经过的边，即 DFS 搜索树上的边
2.前向边：与 DFS 方向一致，从某个结点指向其某个子孙的边
3.后向边：与 DFS 方向相反，从某个结点指向其某个祖先的边
4.横叉边：从某个结点指向搜索树中另一子树中的某结点的边
定义 DFN(u)为结点 u 搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为 u 或 u 的子树（经过最多一条后向边或栈中横叉边）（也就是，他只能走一次后向边或栈中横叉边）能够回溯到的最早的栈中结点的次序号。
由定义可以得出:
Low(u)=Min
{
DFN(u),
Low(v),(u,v)为树枝边，u 为 v 的父结点
DFN(v),(u,v)为后向边或指向栈中结点的横叉边
}
当结点 u 的搜索过程结束后 ，若 DFN(u)=Low(u) ，则以 u 为根的搜索子树上所有还在栈中的结点是一个强连通分量。

伪代码如下：

procedure tarjan(u){    DFN[u]=Low[u]=++Index    // 为结点 u 设定次序编号和 Low 初值    Stack.push(u)            // 将结点 u 压入栈中    for each (u, v) in E     // 枚举每一条边    if (v is not visted)     // 如果结点 v 未被访问过    tarjan(v)                // 继续向下找    Low[u] = min(Low[u], Low[v])    else if (v in S)         // 如果结点 v 还在栈内    Low[u] = min(Low[u], DFN[v])    if (DFN[u] == Low[u])    // 如果结点 u 是强连通分量的根    repeat    v = S.pop                // 将 v 退栈，为该强连通分量中一个顶点    print v    until (u== v)}

不过有些时候，我们就是分不清，啥时候是用儿子的low去更新父亲的low还是用儿子的dfn去更新low，其实博主想了很久，想到了一个方法，如果“儿子”还没被访问过，那么儿子的low可能会更优（及回到更早）这是用儿子的low去更新，而儿子被搜过呢（也可以说在这个点之前就被搜过了，此时搜到的是一条后向边或栈中横叉边），由于之前low的定义，所以u只能走到“儿子”的dfn，所以用dfn去更新。

下面是一道裸的有向图强连通分量题，poj2186的明星奶牛（popular cows）
题目大意： 每一头牛的愿望就是变成一头最受欢迎的牛。现在有N头牛，给你M对整数(A,B)，表示牛A认为牛B受欢迎。 这种关系是具有传递性的，如果A认为B受欢迎，B认为C受欢迎，那么牛A也认为牛C受欢迎。你的任务是求出有多少头牛被所有的牛认为是受欢迎的。

解题思路：先用tarjan求出每个强连通分量，再缩点，统计每个点的出度，如果有且只有1个出度为0的点，就输出这个点包含的节点数，否则输出0
ps：缩点的话，个人觉得是在tarjan里很常见的，就是吧一个强连通分量看成一个点，这样最后形成的就是有向无环图
我们不是已经讲每个强连通分量放到了属于自己的belong里了嘛？只需要记录着每个强连通分量所属belong向外连了几条边就好了。

下面是代码（博主的代码可能很鬼畜）

#include<cstring>#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<algorithm>using namespace std;int time,n,m,x,y,ans,top,i,j,tot;int sure[1000][1000];int next[400005],to[400005],head[400005],dfn[400005],low[400005],cal[400005];int in[400005],stack[400005],belong[400005],check[400005],b[400005],vis[400005],outcome[400005];void add(int x,int y){    tot++;    next[tot]=head[x];    to[tot]=y;    head[x]=tot;}void dfs(int u){    in[u]=1;    stack[++top]=u;    low[u]=dfn[u]=++time;    for(int now=head[u];now;now=next[now])     {        int v=to[now];        if (dfn[v]==0)        {            dfs(v);            low[u]=min(low[u],low[v]);        }        else if (in[v]==1)        {            low[u]=min(low[u],dfn[v]);        }    }    if(dfn[u]==low[u])    {        int hh;        do        {            hh=stack[top--];            belong[hh]=ans;            check[ans]++;            in[hh]=0;        }while(hh!=u);        ans++;    }}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    tot=0;    for(i=1;i<=m;i++)    {        scanf("%d%d",&x,&y);        add(x,y);    }    for(i=1;i<=n;i++)    {        if (dfn[i]==0) dfs(i);    }    /*int sum=0;    for(i=0;i<ans;i++)    {        if (check[i]!=1)            sum++;    }*/     for(i=1;i<=n;i++)    {        for(int now=head[i];now;now=next[now])        {            if (belong[i]!=belong[to[now]])            {                outcome[belong[i]]++;            }        }    }    int hh=0;    int p;    for(i=0;i<ans;i++)    {        if (outcome[i]==0)        {            hh++;            p=i;        }    }    if (hh!=1)    {        printf("0\n");    }    else     {        printf("%d\n",check[p]);    }    return 0;}

好了如果还有什么不懂的，可以给博主留言，或者直接加博主qq1067311025询问博主，不过博主可能是个蒟蒻，很菜。