堆排序

堆：堆数据结构是一种数组对象，它可以被视为一科完全二叉树结构。它的特点是父节点的值大于（小于）两个子节点的值（分别称为大顶堆和小顶堆）。它常用于管理算法执行过程中的信息，应用场景包括堆排序，优先队列等。

堆排序：堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。堆分为大根堆和小根堆，是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。在数组的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因为根据大根堆的要求可知，最大的值一定在堆顶。

用大根堆排序的基本思想：
① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区
② 再将关键字最大的记录R[1]（即堆顶）和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key
③由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。
……
直到无序区只有一个元素为止。

大根堆排序算法的基本操作：
①建堆，建堆是不断调整堆的过程，从len/2处开始调整，一直到第一个节点，此处len是堆中元素的个数。建堆的过程是线性的过程，从len/2到0处一直调用调整堆的过程，相当于o(h1)+o(h2)…+o(hlen/2) 其中h表示节点的深度，len/2表示节点的个数，这是一个求和的过程，结果是线性的O(n)。
②调整堆：调整堆在构建堆的过程中会用到，而且在堆排序过程中也会用到。利用的思想是比较节点i和它的孩子节点left(i),right(i)，选出三者最大(或者最小)者，如果最大（小）值不是节点i而是它的一个孩子节点，那边交互节点i和该节点，然后再调用调整堆过程，这是一个递归的过程。调整堆的过程时间复杂度与堆的深度有关系，是lgn的操作，因为是沿着深度方向进行调整的。
③堆排序：堆排序是利用上面的两个过程来进行的。首先是根据元素构建堆。然后将堆的根节点取出(一般是与最后一个节点进行交换)，将前面len-1个节点继续进行堆调整的过程，然后再将根节点取出，这样一直到所有节点都取出。堆排序过程的时间复杂度是O(nlgn)。因为建堆的时间复杂度是O(n)（调用一次）；调整堆的时间复杂度是lgn，调用了n-1次，所以堆排序的时间复杂度是O(nlgn)。

注意：
①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。
②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止
③堆排序（HeapSort）是一树形选择排序。堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系，在当前无序区中选择关键字最大（或最小）的记录。

给定一个整形数组a[]={16,7,3,20,17,8}，对其进行堆排序：
首先根据该数组元素构建一个完全二叉树，得到

然后需要构造初始堆，则从最后一个非叶节点开始调整，调整过程如下：

这样就得到了初始堆，有了初始堆之后就可以进行排序了。

Java代码：

import java.util.Arrays;import java.util.Comparator;public class HeapSorter {    private HeapSorter() {}    public static void sort(int[] a) {        sort(a, a.length);    }    /**     * 对堆排序，不支持fromIndex，fromIndex总是零。当然有方法可以做到，但我认为都会存在     * 性能损失。一种解决方法就你Heap.heapSort()中一样，首先将数据复制到一个临时数组中，     * 然后再复制回原数组。另一种解决方法，改变left,right,parent方法，这会使原来高效的     * left等方法变得相对低效。     */    public static void sort(int[] a, int length) {        int size = length;        // build heap        for (int i = parent(size - 1); i >= 0; i--) {            maxHeapfiy(a, i, size);        }        for (int i = length - 1; i > 0; i--) {            swap(a, 0, i);            maxHeapfiy(a, 0, --size);        }    }    private static void swap(int[] a, int i, int j) { int temp = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = temp; }    private static void swap(Object[] a, int i, int j) { Object temp = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = temp; }    /**     * 使root保持最大堆的性质，这里采用非递归方法。     */    private static void maxHeapfiy(int[] data, int root, int size) {        int largest = root;        while (true) {            int left = left(root);            int right = right(root);            if (left < size && data[largest] < data[left]) {                largest = left;            }            if (right < size && data[largest] < data[right]) {                largest = right;            }            if (largest == root) break;            swap(data, root, largest);                      root = largest;        }    }    public static void sort(Object[] a) {        sort(a, a.length);    }    public static void sort(Object[] a, int length) {        sort(a, length, null);    }    public static <T> void sort(T[] a, Comparator<? super T> c) {        sort(a, a.length, c);    }    public static <T> void sort(T[] a, int length, Comparator<? super T> c) {        int size = length;        // build heap        for (int i = parent(size - 1); i >= 0; i--) {            maxHeapfiy(a, i, size, c);        }        for (int i = length - 1; i > 0; i--) {            swap(a, 0, i);            maxHeapfiy(a, 0, --size, c);        }    }    private static <T> void maxHeapfiy(T[] data, int root, int size, Comparator<? super T> c) {        int largest = root;        while (true) {            int left = left(root);            int right = right(root);            if (left < size && compare(data, largest, left, c) < 0) {                largest = left;            }            if (right < size && compare(data, largest, right, c) < 0) {                largest = right;            }            if (largest == root) break;            swap(data, root, largest);                      root = largest;        }    }    private static <T> int compare(T[] data, int i0, int i1, Comparator<? super T> c) {        @SuppressWarnings("unchecked")        int result = c == null ? ((Comparable)data[i0]).compareTo(data[i1])                               : c.compare(data[i0], data[i1]);        return result;    }    private static int parent(int i) {        return (i - 1) >> 1;    }    private static  int left(int i) {        return (i << 1) + 1;    }    private static int right(int i) {        return (i + 1) << 1;     }    public static void main(String[] args) {        int[] a = {3, 2, 5, 1};        sort(a);        System.out.println(Arrays.toString(a));        Integer[] a2 = {3, 2, 5, 1};        sort(a2);        System.out.println(Arrays.toString(a2));        a2 = new Integer[]{3, 2, 5, 1};        sort(a2, new Comparator<Integer>() {            public int compare(Integer o1, Integer o2) {                return o2 - o1;            }        });        System.out.println(Arrays.toString(a2));    }}**注：代码来自算法导论的Java实现**