小a和uim之大逃离_洛谷1373_dp

题目背景

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小a和uim来到雨林中探险。突然一阵北风吹来，一片乌云从北部天边急涌过来，还伴着一道道闪电，一阵阵雷声。刹那间，狂风大作，乌云布满了天空，紧接着豆大的雨点从天空中打落下来，只见前方出现了一个披头散发、青面獠牙的怪物，低沉着声音说：“呵呵，既然你们来到这，只能活下来一个！”。小a和他的小伙伴都惊呆了！

题目描述

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瞬间，地面上出现了一个n*m的巨幅矩阵，矩阵的每个格子上有一坨0~k不等量的魔液。怪物各给了小a和uim一个魔瓶，说道，你们可以从矩阵的任一个格子开始，每次向右或向下走一步，从任一个格子结束。开始时小a用魔瓶吸收地面上的魔液，下一步由uim吸收，如此交替下去，并且要求最后一步必须由uim吸收。魔瓶只有k的容量，也就是说，如果装了k+1那么魔瓶会被清空成零，如果装了k+2就只剩下1，依次类推。怪物还说道，最后谁的魔瓶装的魔液多，谁就能活下来。小a和uim感情深厚，情同手足，怎能忍心让小伙伴离自己而去呢？沉默片刻，小a灵机一动，如果他俩的魔瓶中魔液一样多，不就都能活下来了吗？小a和他的小伙伴都笑呆了！

现在他想知道他们都能活下来有多少种方法。

输入格式：

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第一行，三个空格隔开的整数n，m，k

接下来n行，m列，表示矩阵每一个的魔液量。同一行的数字用空格隔开。

输出格式：

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一个整数，表示方法数。由于可能很大，输出对1 000 000 007取余后的结果。

Analysis

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一眼dp因为是dp专题(笑

开始是这样想的，f[i][j][a][b]表示走到ij这个位置，小a拿了a和uim拿了b
然后发现题目中小a一定先走第一步，且一定由uim结束(叫你不读题)，那么改一下，f[i][j][a][b][0] 用多一维表示当前走到谁

来让我们算一算复杂度，nmk2=8002∗152∗2=288000000，很显然这么做无论是时间还是空间都会炸，那么又考虑优化(好麻烦)

我们可以发现最终要走到两人拿了相同量的液♂体，也就是a=b，也就是两人的关系可以用他们的差表示，即他们差为0时相等
改过之后的方程f[i][j][k][x]表示当前走到ij，小a和uim取的液体相差k，这一步的液体由x取
显然

f[i][j][k][0]=f[i][j][k][0]+f[i−1][j][((k+map[i][j])%k+k)%k][1]+f[i][j−1][((k+map[i][j])%k+k)%k][1]

f[i][j][k][1]=f[i][j][k][1]+f[i−1][j][((k−map[i][j])%k+k)%k][0]+f[i][j−1][((k−map[i][j])%k)%k][0]

好长
对于初值，所有的f[i][j][map[i][j]][0]=1
据说会卡常，反正我没有被卡到
为什么我总要找些恶心的题目来写

Code

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#include <stdio.h>#include <string.h>#define rep(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i ++)#define fill(x, t) memset(x, t, sizeof(x))#define N 801#define K 17using namespace std;int f[N][N][K][2], map[N][N], MOD = 1000000007;inline int read(){    int x = 0, v = 1;    char ch = getchar();    while (ch < '0' || ch > '9'){        if (ch == '-'){            v = -1;        }        ch = getchar();    }    while (ch >= '0' && ch <= '9'){        x = x * 10 + ch - '0';        ch = getchar();    }    return x * v;}int main(void){    int n = read(), m = read(), p = read();    p ++;    rep(i, 1, n){        rep(j, 1, m){            map[i][j] = read();            f[i][j][map[i][j] % p][0] = 1;        }    }    rep(i, 1, n){        rep(j, 1, m){            rep(k, 0, p - 1){                f[i][j][k][1] = (f[i][j][k][1] + f[i - 1][j][((k + map[i][j])%p + p) % p][0] + f[i][j - 1][((k + map[i][j])%p + p) % p][0]) % MOD;                f[i][j][k][0] = (f[i][j][k][0] + f[i - 1][j][((k - map[i][j])%p + p) % p][1] + f[i][j - 1][((k - map[i][j])%p + p) % p][1]) % MOD;            }        }    }    int ans = 0;    rep(i, 1, n){        rep(j, 1, m){            ans = (ans + f[i][j][0][1]) % MOD;        }    }    printf("%d\n", ans);    return 0;}