BZOJ 1019 汉诺塔 数学 递推

Description

　　汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，
大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。

　　对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移
动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描
述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到
柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮
助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）
赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到
另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移
动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计
算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。
Input

　　输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操
作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。
Output

　　只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。
Sample Input
3

AB BC CA BA CB AC
Sample Output
7

解题思路:真的不怎么会做递推这种题目，看了网上的题解才会的。设 dp[i]表示 i 个盘子需要的步数，由于 dp[i]满足线性关系，所以必有 dp[i]＝A×dp[i－1]＋B。按照题目给出的规则暴力模拟出 dp[1]，dp[2]，dp[3]，然后解出 A 和 B，然后 O(n)递推即可。至于为什么这个关系满足线形的，我也不清楚，查了一些博客都未给出证明。大概证明很困难，就直接拿过来用了。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;struct node{    int st, en;} can[7];stack <int> stk[4]; //代表3个圆盘int n;long long dp[40];int solve(int w){    int ans = 0;    for(int i = 1; i <= 3; i++)    {        while(!stk[i].empty())        {            stk[i].pop();        }    }    for(int i = w; i >= 1; i--)  //A    {        stk[1].push(i);    }    int last = -1;    while(stk[2].size() < w && stk[3].size() < w)    {        for(int i = 1; i <= 6; i++)        {            if(!stk[can[i].st].empty() && stk[can[i].st].top() != last &&(stk[can[i].en].empty() || stk[can[i].en].top() > stk[can[i].st].top()))            {                stk[can[i].en].push(last = stk[can[i].st].top());                stk[can[i].st].pop();                ans++;                break;            }        }    }    return ans;}int main(){    scanf("%d\n", &n);    for(int i = 1; i <= 6; i++)    {        char a, b;        scanf("%c%c", &a, &b);        can[i].st = a - 'A' + 1;        can[i].en = b - 'A' + 1;        scanf("%c", &a);    }    if(n <= 3){        printf("%d\n", solve(n));    }    else{        int k = (solve(3) - solve(2)) / ((solve(2)) - 1);        int b = solve(3) - k * solve(2);        dp[3] = solve(3);        for(int i = 4; i <= n; i++){            dp[i] = 1LL * k * dp[i - 1] + 1LL * b;        }        printf("%lld\n", dp[n]);    }    return 0;}