最小割树Gomory-Hu tree

前言：最小割树（又称Gomory-Hu tree）在信息学竞赛中有着广泛的应用，但网上的资料往往只模糊的带过证明过程。以下即是描述对该模型的一个证明，内容主要由笔者翻译自Combinatorial Optimization: Polyhedra and Efficiency[2002] Chapter 15.4（亚马逊上有卖，价格感人）
https://www.amazon.cn/dp/3540443894/ref=sr_1_7?ie=UTF8&qid=1484798027&sr=8-7&keywords=Combinatorial+Optimization
首先给出Gomory-Hu tree的定义：
对于一个无向图G = (V,E)和容量方程c : E → R+.一个Gomory-Hu tree（对G和c）是树T = (V,F)对每个T上的边e = st，δ(U)是一个G的最小割，其中U是T中的任意两个部分（注意并不要求T是G的子图。）
Gomory and Hu发现对每个G，c一定存在Gomory-Hu tree能够被n-1次最小割计算找到。
对不同的s,t∈V ,定义r(s,t)为s-t的最小割。由三角不等式得到：(1.1) r(u,w)≥min{r(u, v), r(v,w)}对不同的u, v, w∈G。
现在一个Gomory-Hu tree对所有s, t能够简明描述s-t的最小割：

定理1：使T = (V,F)为一个Gomory-Hu tree。考虑对于任意s, t∈V，s-t的在T上的路径为P，一个边e = uv在P上使得r(u, v)最小，和T-e的任意部分K。那么r(s, t) = r(u, v)且δ(K)是一个s-t的最小割
证明：显然，由(1.1)有r(s, t) ≥ r(u, v)。此外，δ(K)是s-t的一个割，因此有r(s, t) ≤ c(δ(K)) = r(u, v)。
来证明一个Gomory-Hu tree存在，我们首先证明：
引理1：对s, t∈V，使δ(U)是G中s-t的最小割，且使得u, v∈U（u≠v）。那么存在一个u-v的最小割δ(W)且W ⊆ U。
证明：考虑一个u-v的最小割δ(X)。由对称性我们假设s∈U（否则交换s和t），t∉U, s∈X（否则用V\X取代X），u∈X(否则交换u和v)，且v∉X。那么必然适用于下面二图之一。

特别的，δ(U∩X)和δ(U \X)都是u-v的割。
如果t∉X，那么δ(U∪X)是一个s-t的割。因为
（1.2）c(δ(U∩X)) + c(δ(U∪X)) ≤ c(δ(U)) + c(δ(X))
且
（1.3）c(δ(U∪X)) ≥ c(δ(U)),
我们有c(δ(U∩X)) ≤c(δ(X))。所以δ(U∩X)是一个u-v的最小割。
如果t∈X，那么δ(U \X)是一个s-t的割。因为
（1.4）c(δ(U\X)) + c(δ(X\U)) ≤ c(δ(U)) + c(δ(X))
且
（1.5）c(δ(X\U)) ≥ c(δ(U))，
我们有c(δ(U \ X)) ≤ c(δ(X))。所以δ(U \ X)是一个u-v的最小割。
用这条引理证明Gomory-Hu tree存在：
定理2：对每个图G= (V,E)和每个容量方程c : E → R+存在一个Gomory-Hu tree。
证明：定义一个Gomory-Hu tree为一个集合R ⊆ V为一对树（R,T）和一个V的分割(Cr|r∈R)形如：
（1.6）
(i) 对每个r∈R, 有r∈Cr,
(ii) 对每个边e = st∈T，δ(U)是一个s-t的最小割。此时 且K为T-e的一部分。
我们借助推断|R|对每个非空的R ⊆ V存在一个R的Gomory-Hu tree来证明。那么对于R=V我们就能得到一个Gomory-Hu tree。
若|R|=1，（1.6）无意义，所以假设|R|≥2。使得δ(W)是分割至少一对R中的节点的最小割。联系V\W为一个顶点v’,由图G‘。使R’：=R∩W。归纳可得，G′有一个Gomory-Hu tree（R′,T′），对R‘有(C′r | r∈R′)。
相似的，联系W到一个顶点v′′, 由图G′′。使R′′：=R\W。归纳可得，G′′有一个Gomory-Hu tree（R′′,T′′），
对R′′有(C′′r | r∈R′′)。
现在使r′′∈R′′，那么有v′∈C′r′。相似地，使r′′∈R′′有v′′∈C′′r′′。使T := T′∪T′′∪{r′r′′},使Cr′ := C′r′{v′}
且使对所有其他r∈ R′有Cr := C′r。相似地，使Cr′′ := C′′r′′{v′′}且使对所有其他r∈ R′′有Cr := C′′r。
现在（R,T）和Cr形成了一个R的Gomory-Hu tree。实际上，对任意e∈T且e≠ r′r′′, （1.6）由引理1得到。若e=r′r′′,
那么U=W且δ(W)是r′-r′′的一个最小割（且它是所有分割至少一对R中的节点的割中的最小割）
这个方法可以强化得到下列算法结果：
定理3：一个Gomory-Hu tree可以由n-1次最小割得到。
证明：在定理2的证明中，足够说明δ(W)为一个至少一对s，t∈ R的最小割。那么δ(W)同样也是一个r′-r′′的最小割。假设存在一个r′-r′′的割δ(X)得到更小的流量。我们可以假设S∈W ,t∉ W。因为δ(W)是一个s-t的最小割，δ(X)不是s-t的割，所以应分开s和r′或t和r′′。由对称性，我们可以假定分开s和r′。那么对于T′中s-r′路径上的若干边uv它也是一个u-v的割。让uv决定割δ(U)。这个割是一个s-t的割，且因此c(δ(U)) ≥ c(δ(W))。另一方面，c(δ(U))≤c(δ(X))，因为c(δ(U))是u-v的一个最小割。这与我们c(δ(X))≤c(δ(W))的假设相矛盾。
时间复杂度O（N^4）
时间复杂度的证明略。
以下是简单的核心代码（C++）：

1.  for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=1;2.  for(int i=1;i<=n;i++)3.  for(int j=1;j<=n;j++)4.  f[i][j]=1<<30;5.  //预处理6.  for(int i=2,temp;i<=n;i++)7.  {BuildGraph();8.  S=i;T=fa[i];9.  temp=Maxflow();10. for(int j=1;j<i;j++)f[i][j]=f[j][i]=min(f[j][fa[i]],temp);11. Dfs(i);12. for(int j=i+1;j<=n;j++)if(vst[j]&&fa[i]==fa[j])fa[j]=i;13. }

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