单应性矩阵

来源：互联网发布：苹果电脑mac地址编辑：程序博客网时间：2024/05/01 14:12

单应性：

在计算机视觉中：对单应性最感兴趣的部分只是其他意义的一个子集。平面的单应性被定义为从一个平面到另一个平面的投影映射。比如，一个二维平面上的点映射到摄像机成像仪上的映射就是平面单应性的例子。
在一个三维空间中的平面，投影到多个影像之间存在一特定关系，此关系称为 planar homography

单应性(homography)变换的推导

矩阵的一个重要作用是将空间中的点变换到另一个空间中。这个作用在国内的《线性代数》教学中基本没有介绍。要能形像地理解这一作用，比较直观的方法就是图像变换，图像变换的方法很多，单应性变换是其中一种方法，单应性变换会涉及到单应性矩阵。单应性变换的目标是通过给定的几个点（通常是4对点）来得到单应性矩阵。下面单应性矩阵的推导过程。

H = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ h 11 h 21 h 31 h 12 h 22 h 32 h 13 h 23 h 33 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

矩阵H会将一幅图像上的一个点的坐标a=(x,y,1)映射成另一幅图像上的点的坐标b=(x1,y1,1)，也就是说，我们已知a和b，它们是在同一平面上。则有下面的公式：

b = H a T (1)

即：

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 1 = h 11 x + h 12 y + h 13 y 1 = h 21 x + h 22 y + h 23 1 = h 31 x + h 32 y + h 33 (2)

由上面这个公式中的

1=h31x+h32y+h33可得到下面两个等式

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 1 = x 1 1 = h 11 x + h 12 y + h 13 h 31 x + h 32 y + h 33 y 1 = y 1 1 = h 21 x + h 22 y + h 23 h 31 x + h 32 y + h 33 (3)

\Rightarrow

{h 11 x + h 12 y + h 13 = h 31 x x 1 + h 32 y x 1 + h 33 x 1 h 21 x + h 22 y + h 23 = h 31 x y 1 + h 32 y y 1 + h 33 y 1 (4)

\Rightarrow

{0 = h 31 x x 1 + h 32 y x 1 + h 33 x 1 - (h 11 x + h 12 y + h 13) 0 = h 31 x y 1 + h 32 y y 1 + h 33 y 1 - (h 21 x + h 22 y + h 23) (5)

对于方程

(???) ，可写成一个矩阵与一个向量相乘，即：

[- x 0 - y 0 - 1 0 0 - x 0 - y 0 - 1 x x 1 x y 1 y x 1 y y 1 x 1 y 1] h = 0 (6)

其中，

h=[h11,h12,h13,h21,h22,h23,h31,h32,h33]T，是一个9维的列向量。若令:

A = [- x 0 - y 0 - 1 0 0 - x 0 - y 0 - 1 x x 1 x y 1 y x 1 y y 1 x 1 y 1] (7)

则

(6)可以记为

A h = 0 (8)

这里的

A∈R2×9。这只是1对点所得到的矩阵

A，若有4对点，则得到的矩阵

A∈R8×9。如何求解向量

h呢？方法很简单，真接对

A进行SVD分解，即

U * Σ * V T (9)

然后取

V的最后一列出来作为求解

h。因为矩阵

A是行满秩，即只有一个自由度。
具体实现时，先要得到两幅图，然后在两幅图之间找到4对点的坐标，由此得到矩阵

，然后在matlab中可以这样实现:

[U,S,V]=svd(A);

h=V(:,9);

H= reshape(h,3,3);

由单应性矩阵可以得到仿射变换，还可以在单应性矩阵上做图像拼接。

0 0