Dijkstra算法--单源最短路径

来源：互联网发布：天刀少女脸型数据编辑：程序博客网时间：2024/06/07 02:40

在http://blog.csdn.net/hacker_zhidian/article/details/54898064这一篇博客中总结了一下在求图的最短路中的一个算法-Floyd算法，Floyd算法用于求图的多源最短路径（多源最短路径：图的所有顶点到其他顶点的最短路径），时间复杂度和其他求最短路算法相比较高，如果一些题目只要求求单源最短路径（单源最短路径：图的某个顶点到其他顶点的最短路径）的话，Floyd算法显然不是最好的选择，那么今天我们来看一下另一个用于求单源最短路径的算法：Dijkstra算法。

首先我们来看一个图：
这里写图片描述
图中共有A、B、C、D四个顶点，五条边，假设我们现在要求顶点B到其他顶点的最短路径，依据Dijkstra算法的原理：

首先我们先找到距离顶点B路径最短的顶点，在这个图中很明显距离顶点B路径最短的点为顶点D。之后，将顶点D做上访问标记，并对图中的所有顶点进行检测，看看能否通过顶点D来缩短顶点B到其他顶点的路径。很明显，B–>D–>C（路径为3）这条路的路径小于B–>C（路径为6）这条路的路径，那么我们更新从顶点B到顶点C的最短路径，顶点D的试探结束。我们可以将这个过程称为“缩放”，现在，顶点D的“缩放”结束。之后我们继续寻找距离顶点B路径最短并且没有被标记的顶点，现在距离顶点B路径最短并且没有被标记的顶点为顶点C（顶点D已经被标记了），同样的重复“缩放”过程，直到图中所有的顶点都被标记。

理解了上面的过程，我们就可以架构出大概的Dijkstra算法的代码了：

/** n 代表图的顶点总数* e[][] 代表图的邻接矩阵储存* book[] 代表标记数组，标记顶点是否已经被选择过* dis[] 数组储存的是源点距离其他顶点的最短路径*/for(int i = 1; i <= n - 1; i++) // 对除了顶点B以外的所有顶点进行“缩放”，所以是n-1次顶点缩放{    int min = inf;   // inf 为无穷大    int u;  // u为当前距离顶点B路径最短的顶点    for(int j = 1; j <= n; j++) // 找到距离顶点B最短的顶点    {        if(book[j] == 0 && dis[j] < min)        {            min = dis[j];            u = j;        }    }    book[u] = 1;    // 对要缩放的顶点进行标记    for(int k = 1; k <= n; k++) // 对这个距离顶点B最短的顶点进行缩放    {        if(e[u][k] < inf)        {            if(dis[k] > dis[u] + e[u][k])            {                dis[k] = dis[u] + e[u][k]; // 如果确实可以通过这个顶点的缩放来缩短最短路径，那么更新最短路径            }        }    }}

Ok，算法的核心代码就是这些了，下面给出这个例子的完整代码：

/** n 代表图的顶点总数* e[][] 代表图的邻接矩阵储存* book[] 代表标记数组，标记顶点是否已经被选择过* dis[] 数组储存的是源点距离其他顶点的最短路径*/#include <iostream>using namespace std;const int N = 500;const int inf = 999999999;int e[N][N];int book[N];int dis[N];int main(){    int n, m, s;  // 图的顶点总数、边的总数和源节点    cin >> n >> m>> s;    for(int i = 1; i <= n; i++)    {        dis[i] = inf;   // 初始化dis数组        for(int j = 1; j <= n; j++)        {            if(i == j)            {                e[i][j] = 0;            }            else            {                e[i][j] = inf;            }        }    }    int x, y, w;    // 边的信息    for(int i = 1; i <= m; i++) // 输入边    {        cin >> x >> y >> w;        e[x][y] = e[y][x] = w;    }    dis[s] = 0;    for(int i = 1; i <= n - 1; i++) // 对除了源点以外的所有顶点进行“缩放”，所以是n-1次顶点缩放    {        int min = inf;   // inf 为无穷大        int u;  // u为当前距离源点路径最短的顶点        for(int j = 1; j <= n; j++) // 找到距离源点最短的顶点        {            if(book[j] == 0 && dis[j] < min)            {                min = dis[j];                u = j;            }        }        book[u] = 1;    // 对要缩放的顶点进行标记        for(int k = 1; k <= n; k++) // 对这个距离源点最短的顶点进行缩放        {            if(e[u][k] < inf)            {                if(dis[k] > dis[u] + e[u][k])                {                    dis[k] = dis[u] + e[u][k]; // 如果确实可以通过这个顶点的缩放来缩短最短路径，那么更新最短路径                }            }        }    }    for(int i = 1; i <= n; i++) // 输出源点到其他顶点的最短路径    {        cout.width(-5);        cout << dis[i] << " ";    }    cout << endl;    return 0;}

接下来，我们将给出的例图中的数据输入并运行程序：
这里写图片描述
和预想的一样，小伙伴们可以自己尝试一下。
在这里，Dijkstra算法的时间复杂度为O(N^2)，确实比Floyd算法小。当然，还有一点要注意，Dijkstra算法是不能解决具有负权边的图的。
如果博客中有什么不正确的地方，还请多多指点。
谢谢观看。。。

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