费马小定理与欧拉定理——学习笔记

有关的剩余系概念

按模n是否同余对整数集进行分类，可得到模n的n个剩余类[0],[1],[2],[3]…[n-1]。每个剩余类中取一个数作为代表，组成的集合称为完全剩余系。完全剩余系中的n个数模m两两不同余。显然一个剩余类中有一个数与n互质，这个剩余类中的其他数都与n互质，称为互素剩余类。在完全剩余系中只保留互素剩余类的集合称为简化剩余系。

费马小定理

m为素数，且gcd(a, m)=1 则有a^(m-1)≡1 (mod m)

证明

因为m是质数，且不能整除a，也不能整除1~m-1,所以a,2*a,3*a,…(m-1)*a均与m互素。还需要证明i*a模m两两不同余：假设i*a≡j*a (mod m) ⟺ m | (i-j)*a⇒ m|(i-j)
而1<=|i-j|<=m-1且m是质数，所以gcd(i-j, m)=1 不可能有m | (i-j)。
因为模m两两不同余，所以他们分别属于模m的除[0]以外的m-1个不同剩余类中，得a*2a*3a*…*(m-1)*a≡1*2*3*…(m-1) (mod m)
a^(m-1)*(m-1)! ≡ (m-1)! (mod m)
又因为 gcd( (m-1)! , 1 )=1 所以消去即可： a^(m-1) ≡ 1 (mod m)

欧拉函数

φ(x)为1到x中与x互质的数的个数。

性质

1.对于质数p, φ(p)=p-1
2.若gcd(a, b)=1,则 φ(a*b)=φ(a)*φ(b) （积性）

性质2的证明

设(m, n)=1,我们要证明φ(m*n)= φ(m)φ(n)。
{a1,a2,a3,…,a_φ(m)}为模m的简化剩余系。
{b1, b2, b3,…,b_φ(m)}为模n的简化剩余系。
显然 φ(m*n)=φ(m)φ(n) ⟺ 形如ai*n+bj*m的φ(m)φ(n)个数组成的集合与nm的简化剩余系相等。我们的目标是证明后者。
第一步：先证明形如ai*n+bj*m的φ(m)φ(n)个数分别属于模mn下的不同的互质剩余类，需要“模nm两两不同余”与“都与nm互质”两个条件：
模nm两两不同余证明：
反证法，假设φ(m)φ(n)个数中不同的两个数n*ai+m*bj ≡ n*ak + m*bl (mod mn)，等价于 mn | n(ai-aj)+m(bk-bl)⟹n | n(ai-ak)+m(bk-bl) ⟹ n | m(bk-bl) ⟹ n | bk-bl ⟹
bk≡bl (mod n)。类似可得ai≡aj(mod n), 也就是说这是同一组数，与假设矛盾。
都与nm互质证明：因为gcd(m, n)=1且gcd(m,ai)=1, 所以gcd(m, ai*n)=1⟹
gcd(m, ai*n+m*bj) = 1 类似可证gcd(n, ai*n+m*bj) = 1, 得 gcd(mn, ai*n+m*bj)=1。
现在已经得到这φ(m)φ(n)个数都是mn的简化剩余系中的不同类，但是还没有证完，是否可能这φ(m)φ(n)个数没有完全组成mn的简化剩余系呢？还需要反过来证一下：
对任意正整数k,若gcd(k, mn)=1 则一定有 k ≡ ai*n+bj*m ( mod mn)。证明：
设k ≡ x*n+y*m (mod mn) ,即mn | k- (x*n+y*m) 。设d=gcd(m, x)，可得d | m, d | n,
d | mn, 所以d | k- (x*n+y*m), 又因为 d | (x*n+y*m)，所以 d | k。
因为 d | k , d | nm, gcd(k, nm)=1 所以d=1 即 gcd(m, x)=1 所以x在 {a1,a2,a3,…,a_φ(m)}中。类似可得 y在{b1, b2, b3,…,b_φ(m)}中。所以有 k ≡ ai*n+bj*m。
综上所述，φ(m*n)= φ(m)φ(n) 。证毕

求φ的公式推导

将x质因数分解，x=p1^k1*p2^k2*p3^k3*p4^k4…pn^kn
由性质2得:φ(x)=φ(p1^k1)*φ(p2^k2)*φ(p3^k3)*…*φ(pn^kn)
现在求φ(p^k)：因为p^k中只包含p这个质因数，所以和p不互质的数必然有p这个质因数，也就是说必然是p的倍数。 得 {1~p^k中与p^k互质的数} = {1~p^k所有数} - {1~p^k中p的倍数} 即φ(p^k)=p^k - p^k/p=p^k – p^(k-1)=p^k*(1-1/p)
代入得 φ(x)=p1^k1*p2^k2*…*pn*kn*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p2)…*(1-1/pn)
= x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p2)…*(1-1/pn)

欧拉定理

若gcd(a,m)=1 则有a^φ(m)≡1（mod m）
欧拉定理实际上是费马小定理的推广，证明方法类似。

证明

记φ(m)=r 用{a1, a2, a3,… ar} 表示模m的简化剩余系。
因为gcd(a, m)=1 且a1,a2…ar与m均互质，所以 a*a1, a*a2, … a*ar也均与m互质。
易证a*ai模m两两不同余: 假设a*ai≡a*aj (mod m) , 因为gcd(a, m)=1所以ai≡aj ，与条件矛盾。所以他们分别属于模m的r个剩余类[a1], [a2], [a3], [a4]…[ar],即组成了m的简化剩余系。同样是模m的简化剩余系，得 a*a1*a*a2*…*a*ar ≡ a1*a2*a3..ar (mod m)
a^r* (a1*a2*…*ar) ≡ a1*a2*…*ar（mod m）因为gcd(ai, m)=1所以 a^r ≡ 1（mod m）