欧拉函数——基本定理与基本方法

(1)直接实现，这种实现一般会超时，仅作了解即可

int phi(int n){    int ans=n;    for(int i=2;i<=n;i++)        if(n%i==0)    {        ans=ans-ans/i;        while(n%i==0)            n/=i;    }    return ans;}

下面是优化代码：

int phi(int n){    int ans=n;    for(int i=2;i*i<=n;i++)        if(n%i==0)    {        ans=ans-ans/i;        while(n%i==0)            n/=i;    }    if(n>1)        ans=ans-ans/n;    return ans;}

(2)素数表实现

先把50 000以内的素数用筛法选出来并保存，以方便欧拉函数的使用。

int prime[N],nprime;bool isprime[N];void make_prime(){    memset(isprime,1,sizeof(isprime));    nprime=0;    isprime[1]=0;    for(int i=2;i<=N;i++)    {        if(isprime[i])        {            nprime++;            prime[nprime]=i;            for(int j=i*i;j<=N;j+=i)                isprime[j]=0;        }    }}int phi(int n){    int ans=n;    for(int i=1;i<=nprime;i++)    {        if(prime[i]*prime[i]>n)            break;        if(n%prime[i]==0)        {            ans=ans-ans/prime[i];            while(n%prime[i]==0)                n/=prime[i];        }    }    if(n>1)        ans=ans-ans/n;    return ans;}

(3)递推求欧拉函数

如果频繁地要用欧拉函数的值，就需要预先打表，下面介绍递推求欧拉函数的方法

可以先置所有的数的欧拉函数值都为其本身。在遍历过程中如果遇到欧拉函数与自身相等的情况，那么说明该数为素数，把这个数的欧拉函数改变，同时也把能被该素因子整除的的数改变。(注意：是在遍历过程中，前面所做的运算已经改变了大部分的数，却没有改变它，说明这个数为素数)

for(i=1;i<=maxn;i++)///欧拉函数初始化为其自身    phi[i]=i;for(i=2;i<=maxn;i+=2)///偶数必有素因子2，n(1-1/2);    phi[i]/=2;for(i=3;i<=maxn;i+=2)///从3这个素数开始，递推求解    if(phi[i]==i){    for(j=i;j<=maxn;j+=i)///所有为i(i为素数)的倍数的数均改变欧拉函数，乘以(1-1/i);        phi[j]/i*(i-1);}