[HYSBZ/BZOJ2301]Problem b [莫比乌斯反演+分块] 【组合数学】

题目连接：https://vjudge.net/problem/HYSBZ-2301

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2301: [HAOI2011]Problem b

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Description

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

Input
第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k

Output
共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数

Sample Input

2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2

Sample Output

14
3

HINT

100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

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解题思路:
对于求(a,c) (b,d)区间内的解 我们可以用容斥原理解决
calc(b,d)−calc(a−1,d)−calc(b,c−1)+calc(a−1,c−1)

那么对于求每一个calc(x,y);时首先要明确的是求gcd(x,y)=k就是求gcd(x/k,y/k)=1的解,

证明 :
a×x+b×y=ka×xk+b×yk=1a×xk+b×yk=1
——证毕

然后设f(i)为gcd(x,y)=i时(x,y)的对数，F(i)表示满足i|gcd(x,y)的(x,y)的对数，显然F(i)=⌊ni⌋⌊mi⌋

然后根据莫比乌斯反演公式的到
F(n)=∑i|nf(i)=>f(d)=∑i|dμ(di)×F(d)=∑i|dμ(di)×⌊ni⌋⌊mi⌋

当i=1时，f(1)=∑min(n,m)d=1μ(d)⌊n⌋⌊m⌋

由于⌊ni⌋的取值最多只有2n−−√个（这个很容易证明:在nn−−√+1<i<=n时，y=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12......n−−√n2<i<=nn3<i<=n2nn√+1<i<=nn√，到这里已经有sqrt(n)个取值了，还有n−−√个i，即使每一个i都对应一个不同的⌊ni⌋，也只有n−−√个取值），我们算出μ的前缀和sum,然后只需要O(2(n−−√+m−−√))的时间（即分块优化）回答每次询问。

参(chao)考(xi)于此

但是有一个奇怪的地方，就是我用%I64d输出 显示PE %lld输出 显示WA 用%d输出就AC了。。。。醉了。。。

附本题代码
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int a,b,c,d,k;int prime[N],pre[N],mu[N],kp;bool Is_or[N];void Prime(){    kp = 0;    memset(Is_or,true,sizeof(Is_or));    Is_or[0]=Is_or[1]=0;    mu[1]=pre[1]=1;    for(int i=2;i<=50000;i++){        if(Is_or[i]) mu[i]=-1,prime[kp++]=i;        for(int j=0;j<kp&&prime[j]*i<=50000;j++){            Is_or[prime[j]*i]=0;            if(0==i%prime[j]) {mu[prime[j]*i]=0;break; }            mu[prime[j]*i] = -mu[i];        }        pre[i]=pre[i-1]+mu[i];    }    return ;}int calc(int x,int y){    x/=k,y/=k;    if(x>y) x^=y,y^=x,x^=y;    int ans = 0;    for(int i=1,pos;i<=x;i=pos+1){//分块优化        pos = min(x/(x/i),y/(y/i));        ans+=(pre[pos]-pre[i-1])*(x/i)*(y/i);    }    return ans ;}void work(){    scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);    printf("%d\n",calc(b,d)                    -calc(a-1,d)                    -calc(b,c-1)                    +calc(a-1,c-1));}int main(){    Prime();    int _ = 1;    //while(~scanf("%d",&_))    scanf("%d",&_);    while(_--)   work();    return 0;}