浅谈逆元

先举例子：

·初遇一道有关逆元的题目，题目大意：

·随机给定n个数，有多少种方法使得这n个数构成一个大小为n的二叉堆（即大根堆和小根堆）？

·可以考虑树形dp

·设表示用i个数能够成多少个大小为n的二叉堆，则有

    （i.left.tot表示以i为根的左子树的个数）

或

   （i.right.tot表示以i为根的右子树的个数）

两式等立

·证明：

已知一棵树是由根以及左子树和右子树组成，当左子树满足堆性质，右子树满足堆性质，则整棵树都可满足堆性质（因为是任选n个数，则根一定可以满足堆性质）故，左子树在n个数里任选i.left.tot个，都可贡献f(i.left)的答案，当左子树确定时右子树即确定，故右子树确定时左子树确定（完全二叉树性质）

·上述算法瓶颈在于求

·因为答案要求摸m(质数，10^9+7)

·可以分解质因数，但效率太慢

·转入正题，逆元~

                             逆元

·逆元定义：若有，则称x为a模m的逆元

·逆元用处：可把除法转为乘法，加快运算速度

·定义：表示b与m的逆元

·举例：

       如中，设被除数为a，除数为b，则

·证明：

      

  根据费马小定理可得

 

费马小定理

  证明：

·定理1：

     若，且，则;   

      证：

                     

      

      
      故为的倍数，故可约去 

                  

                   ∴

·定理2：

     通过定理1可得，若取素数的完全剩余系，给定，则也为m的完全剩余系。

     证：采用反证法.

     若

     则通过定理1可得

     通过完全剩余系的性质可得不可能有两数同余，故定理成立

·通过定理2可得，取素数m的既约剩余系，则

      

   故可以通过定理1的逆运用可得

·证毕

·证明费马小定理最基本也是最重要的是弄懂定理1，其余可以迎刃而解

以上定理参考度娘