浅谈排列组合

概念：

A(nm) 表示从m个 不同 元素中 取n个 并按一定顺序排成的 不重复的 方案数 ——称之为排列
C(nm) 表示从m个 不同 元素中 取n个 不重复的 方案数 ——称之为组合

区分概念：

排列强调了“顺序”的方案数，而组合则没有
抽象直观地，
A(22)=2
C(22)=1
形象地理解，如集合{1,2}{2,1}是两种排列，但在组合当中只算一种

公式：

A(nm)=m(m−1)(m−2)...(m−n+1)=m!(m−n)!
C(nm)=m(m−1)(m−2)...(m−n+1)n!=m!n!(m−n)!

理解 ：

排列——

对于排列的计算公式，我们可以通过掌握概念后这么理解：
把m个数摆在n个格子里 (其中m>=n)，那么对于第一个格，我可以有m种选法，第二个格我有m−1种选法，第三个格有m−2种选法，对于第n个格，我就有m−n+1种选法。那么根据乘法原理，因为数互不重复，故选法无重复，故公式得证

组合——

对于组合，在理解了排列后，我们可以这么理解：
我现在排列出来的方案数tot种里，会有多少种重复呢？显然，对于n个格子里任填的n个数，一定有n！种排列，因为对于任意的n个数，都有n！次重复，我们只选其中一种，故组合的答案为tot/(n!)，公式得证

对于排列组合的理解，一定要加深研究，在似懂非懂的情况下，多举几个例子，在头脑中形象地帮助理解并巩固记忆。

如下，

A(34)=4∗3∗2=24

C(34)=4∗3∗2/3∗2∗1=4

缜密想想，为什么组合会比排列少了那么多？

意义：

排列组合的有关解法在数论方面应用的很广，也是考察选手思维的一种很好的题目类型，通常要求选手熟练掌握排列组合公式，在此基础上进行扩展，如组合排列的加法，乘法，以及一些基本的性质等，再通过这些后深度的拓展结合成一道美轮美奂的数学题，有时难度并不小。

性质：

一些特殊的规定，A(mm)=m!,C(0m)=1

对于排列组合，有一些必须掌握的基本性质
如：

性质1：A(nm)=C(nm)∗A(nn)
证：
∵A(nm)=m!(m−n)!，C(nm)=m!n!(m−n)!，A(nn)=n!
∴C(nm)∗A(nn)=m!(m−n)!=A(nm)

性质2：C(nm)=C(m−nm)
证：
∵C(nm)=m!n!(m−n)!，C(m−nm)=m![m−(m−n)]!(m−n)!
∴C(m−nm)=m!n!(m−n)!=C(nm)

从中我们可以看出：组合数具有很好的对称性

性质3：C(nm)=C(nm−1)+C(n−1m−1)
证：
∵C(nm)=m!n!(m−n)!，C(nm−1)=(m−1)!n!(m−n−1)!，C(n−1m−1)=(m−1)!(n−1)!(m−n)!
∴C(nm−1)=(m−1)!n!(m−n−1)!=(m−1)!(m−n)n!(m−n)!
∴C(n−1m−1)=(m−1)!(n−1)!(m−n)!=(m−1)!nn!(m−n)!
∴C(nm−1)+C(n−1m−1)=m(m−1)!n!(m−n)!=m!n!(m−n)!=C(nm)

性质4：C(0m)+C(1m)+C(2m)+...+C(mm)=2m （C(0m)=1）
证：（这个性质很重要，但由于证明需由二项式定理展开，先不详述）

性质5：
n∗n!=(n+1)!−n!,n(n+1)!=1n!−1(n+1)!
证：
n∗n!=[(n+1)−1]∗n!=(n+1)∗n!−n!=(n+1)!−n!
n(n+1)!=n+1−1(n+1)!=n+1(n+1)!−1(n+1)!=1n!−1(n+1)!
以上两个公式都运用到了+1-1的拆分思想，是化简式子时一常用的技巧

以上性质会用的较广，下面我们还是实践一下，通过做几道数学题巩固巩固。

经典数学题

例①

题目：
求证：C(12)+C(23)+C(34)+...+C(m−1m)=C(2m+1)−1
证：
C(12)+C(23)+C(34)+...+C(m−1m)
=C(02)+C(12)+C(23)+C(34)+...+C(m−1m)−C(02)
=C(13)+C(23)+C(34)+...+C(m−1m)−C(02)
=C(24)+C(34)+...+C(m−1m)−C(02)
=C(35)+...+C(m−1m)−C(02)
=.......
=C(m−2m)+C(m−1m)−C(02)
=C(m−2m)+C(m−1m)−1
=C(m−1m+1)−1
=C(2m+1)−1
证毕.

以上求证方法，运用到了性质3，通过“+1-1”的思想，进行等量代换，合并同类，最终得到结果，需熟练掌握
C(nm)=C(nm−1)+C(n−1m−1)的等量C(nm+1)=C(nm)+C(n−1m)

例②

题目：
求用0−9这10个数字组成的无重复数字的四位偶数个数.

解法1：

分类讨论
{i}当0为尾时，有A(39)种排法
{ii}当2,4,6,8为尾时继续分类讨论：
{ii1}如果填0，则有C(12)A(28)种排法
{ii2}如果不填0，则有A(38)种排法
故，{ii}有C(14)(C(12)A(28)+A(38))种排法
A(39)+C(14)(C(12)A(28)+A(38))
=504+4∗448
=2096

解法2：

根据解法1的思路，不难看出，对于当2,4,6,8为结尾时，我们只需在开头放非0，其余随便放即可，故{ii}有C(14)C(18)A(28)=1792种排法

解法3：

根据解法1的思路，不难看出，对于当2,4,6,8为结尾时，可以从所有方案中减去以′0′开头的方案，故方案数有
C(14)(A(39)−A(28))=1792种排法

解法4：

千位选1,3,5,7,9，个位选0,2,4,6,8，其余位任选，显然有
C(15)C(15)A(28)种排法
千位选2,4,6,8，个位在剩余偶数选一个，其余位任选，显然有
C(14)C(14)A(28)种排法
故有
C(15)C(15)A(28)+C(14)C(14)A(28)
=1400+896=2296种排法

解法5：

分类讨论：
四位数有：A(410)−A(39)=4536个
四位奇数有：
C(15)(A(39)−A(28))=2240种排法
故四位偶数有：4536−2240=2296种排法

可以看出，一道非常简单的小学数学题，能用非常多的解法解出，并不是想说这道题有多难，而是要学会触类旁通，一题多解，灵活运用排列组合

例③

题目：
3个女生，5个男生排成一列
1.求女生必须全排在一起的方案数
2.求女生必须全分开的方案数
3.求两端都不能排女生的方案数
4.求两端不能都排女生的方案数

1.
解法①：
显然，对于女生的位置只有8−3+1=6种排法，而调整有A(33)=3!=6种排法，对于男生显然有A(55)=5!=120种排法，故总共有6∗6∗120=4320种排法
解法②：
“捆绑法”，把3个女生看成1捆，故总有A(66)A(33)=40320种排法

2.
解法①：
（间接法）
8个位置共有A(88)=8!=40320种排法

有2个女相邻，且两个女旁边是男的:
{i}当这两个相邻女生在开头和结尾时:共有C(23)A(22)C(12)C(15)A(55)=7200种排法
{ii}当这两个相邻女生不在开头和结尾时:共有C(23)A(22)C(15)A(25)A(44)=14400种排法

有3个女相邻，共有：C(33)A(33)C(16)A(55)=4320种排法

故不相邻女生共有40320−7200−14400−4320=14400种排法

解法②：
显然，我们可以先把5个男生排成一列，共有A(55)=5!=120种排法
再把3个女生插到5个男生组成的6个“空档”中，共有A(36)=6∗5∗4=120种排法
故总共有120∗120=14400种排法

3.
解法①：
显然对于两头只能摆男生，就有A(25)=20种排法
其余位可任摆，就有A(66)=6!=720种排法
共有20∗720=14400种排法
解法②：
（间接法）
一共有A(88)=8!=40320种排法
去除女生排在前面：C(13)A(77)=15120
去除女生排在后面：C(13)A(77)=15120
加上女生即排在后面也排在前面：A(23)A(66)=4320
故总共有40320−15120−15120+4320=14400种排法
解法③：
对于中间6个位置，让3个女生排，其余位置任排，故有
A(36)A(55)=6∗5∗4∗5∗4∗3∗2∗1=14400种排法

4.
显然，如果首位是男的，那么接下来怎么摆都行，故有A(15)A(77)=25200种摆法
如果首位是女的，故结尾必须是男的，其余任意摆，故有A(13)A(15)A(66)=10800种摆法
故总共有25200+10800=36000种摆法

有重复元素的排列问题

对待这类问题，一般不会灵活出现，但公式还是要求掌握理解，其公式其实也很简单，假设现在有n个元素，对于第一类元素N1，有tot1个重复，第二类元素N2，有tot2个重复，第m类元素Nm，有totm个重复，故方案数为

A(nn)tot1!tot2!...totm!

=

n!tot1!tot2!...totm!

理解更是非常容易，相信只要看懂了前面我所讲述的内容，这里应该不难掌握

此外，还有很多的排列组合问题，这里就不一一探讨了，毕竟与竞赛而言，其它需要学的东西还有太多，这里就先挖个坑，暂且补到这儿吧。