二叉树
来源:互联网 发布:李世民长孙皇后 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/06/03 22:43
二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点),二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2^{i-1}个结点;深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点;对任何一棵二叉树T,如果其终端结点数为n_0,度为2的结点数为n_2,则n_0=n_2+1。一棵深度为k,且有2^k-1个节点称之为满二叉树;深度为k,有n个节点的二叉树,当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中,序号为1至n的节点对应时,称之为完全二叉树。
逻辑上二叉树有五种基本形态:
(1)空二叉树——如图(a);
(2)只有一个根结点的二叉树——如图(b);
(3)只有左子树——如图(c);
(4)只有右子树——如图(d);
(5)完全二叉树——如图(e)。
二叉树性质:
(1) 在非空二叉树中,第i层的结点总数不超过 , i>=1;
(2) 深度为h的二叉树最多有 个结点(h>=1),最少有h个结点;
(3) 对于任意一棵二叉树,如果其叶结点数为N0,而度数为2的结点总数为N2,则N0=N2+1;
(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为
(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储,则结点之间有如下关系:
若I为结点编号则 如果I>1,则其父结点的编号为I/2;
如果2*I<=N,则其左儿子(即左子树的根结点)的编号为2*I;若2*I>N,则无左儿子;
如果2*I+1<=N,则其右儿子的结点编号为2*I+1;若2*I+1>N,则无右儿子。
(6)给定N个节点,能构成h(N)种不同的二叉树。h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(2*n,n)/(n+1)。
(7)设有i个枝点,I为所有枝点的道路长度总和,J为叶的道路长度总和J=I+2i
二叉树的遍历:
1、先序遍历:根节点->左子树->右子树
遍历结果:ABCDEF
2、中序遍历:左子树->根节点->右子树
遍历结果:CBDAEF
3、后序遍历:左子树->右子树->根节点
遍历结果:CDBFEA
二叉树遍历的Java代码:
class Node{ public int value; public Node left; public Node right; public Node(int v){ this.value=v; this.left=null; this.right=null; } }
1、先序遍历
递归:
public static void preOrderRec(Node root){ if(root!=null){ System.out.println(root.value); preOrderRec(root.left); preOrderRec(root.right); } }
非递归:
public static void preOrderStack_1(Node root){ if(root==null)return; Stack<Node> s=new Stack<Node>(); s.push(root); while(!s.isEmpty()){ Node temp=s.pop(); System.out.println(temp.value); if(temp.right!=null) s.push(temp.right); if(temp.left!=null) s.push(temp.left); } }
2、中序遍历
递归:
public static void inOrderRec(Node root){ if(root!=null){ preOrderRec(root.left); System.out.println(root.value); preOrderRec(root.right); } }
非递归:
public static void inOrderStack(Node root){ if(root==null) return; Stack<Node> s=new Stack<Node>(); while(root!=null||!s.isEmpty()){ while(root!=null){ s.push(root);//先访问再入栈 root=root.left; } root=s.pop(); System.out.println(root.value); root=root.right;//如果是null,出栈并处理右子树 } }
3、后序遍历
递归:
public static void postOrderRec(Node root){ if(root!=null){ preOrderRec(root.left); preOrderRec(root.right); System.out.println(root.value); } }
非递归:
public static void postOrderStack(Node root){ if(root==null) return; Stack<Node> s=new Stack<Node>(); Map<Node,Boolean> map=new HashMap<Node,Boolean>(); s.push(root); while(!s.isEmpty()){ Node temp=s.peek(); if(temp.left!=null&&!map.containsKey(temp.left)){ temp=temp.left; while(temp!=null){ if(map.containsKey(temp))break; else s.push(temp); temp=temp.left; } continue; } if(temp.right!=null&&!map.containsKey(temp.right)){ s.push(temp.right); continue; } Node t=s.pop(); map.put(t,true); System.out.println(t.value); } }
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