[母函数 泰勒展开] BZOJ 3028 食物

这个神题

汉堡=x0+x2+x4+⋯=11−x2
蜜桃=x1+x3+x5+⋯=x1−x2
面包=x0+x3+x6+⋯=11−x3
鸡块=x0+x4+x8+⋯=11−x4
土豆=x0+x1=1−x21−x
可乐=x0+x1=1−x21−x
鸡腿=x0+x1+x2=1−x31−x
包子=x0+x1+x2+x3=1−x41−x

乘在一起就是f(x)=x(1−x)4
[xn] f(x)就是答案
然后我们在x=0处泰勒展开
答案就是fn(0)n!

这个n阶导数可以找规律得出

fn(x)=n(n+2)!3!(1−x)−(n+3)+(n+3)!3!x(1−x)−(n+4)

化简 fn(0)n! 得就是 n(n+1)(n+2)6=C3n+2

UPD
具体推导可以看这里
其中有一种简洁的方法

x(1−x)4=x(1+x1+x2+x3+⋯)4

[xn](1+x1+x2+x3+⋯)4就是把n分成4部分的方案数
那么答案就是n-1分成4部分的方案数 由插板法得

Ans=C2n−1+3=C3n+2

#include<cstdio>using namespace std;const int P=10007;int main(){  char s[501]; int n=0;  freopen("t.in","r",stdin);  freopen("t.out","w",stdout);  scanf("%s",s);  for (int i=0;s[i];i++) n=((n<<1)+(n<<3)+s[i]-'0')%P;  printf("%d\n",n*(n+1)%P*(n+2)%P*1668%P);  return 0;}