常用数学公式推导及概念

常用数学公式及概念：

1.连续求和

求解：1+2+3+.....+n

首尾相加

n(n+1)/2

2.平方和

求解：1^2+2^2+3^2+...+n^2

根据恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1

..............................

3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.

把这n个等式两端分别相加，得：

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

代人上式得：

n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n

整理后得：

1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

3.立方和

求解：1^3+2^3+******+n^3

类似的利用恒等式(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1

得

(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1

n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1

...........

2^4-1^4=4+6+4+1

n个等式两边相加得

(n+1)^-1^4=4(1^3+2^3+ ....+n^3)+6*(1^2+2^2+ ....+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n

代入1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 及1+2+3+...+n=(n+1)n/2

整理得

4(1^3+2^3+ ....+n^3)=(n+1)^4-1-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n

4(1^3+2^3+ ....+n^3)=n^4+4n^3+6n^2+4n+1-1-2n^3-3n^2-n-2n^2-2n-n

4(1^3+2^3+ ....+n^3)=n^4+2n^3+n^2

(1^3+2^3+ ....+n^3)=n^2(n^2+2n+1)/4

=n^2(n+1)^2/4

4.对数函数

两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：

也就是说：若y=logab （其中a>0,a≠1，b>0）

当0<a<1, 0<b<1时，y=logab>0;

当a>1, b>1时，y=logab>0;

当0<a<1, b>1时，y=logab<0;

当a>1, 0<b<1时，y=logab<0。

5.数学期望

前言：平均数是一个统计学概念，期望是一个概率论概念

平均数是实验后根据实际结果统计得到的样本的平均值，期望是实验前根据概率分布“预测”的样本的平均值

在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和的平均。是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。

离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率pi乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（x）。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。

例子

某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个。

则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X。它可取值0，1，2，3。

其中取0的概率为0.01取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03。

它的数学期望0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个。

用数学式子表示为E(X)=1.11。

6.一元多项式

代数学研究的基本对象之一。设P是一个数域，x是一个文字。形式表达式称为系数在数域P上x的一元多项式，或称数域P上的一元多项式。

设a0，a1，a2，…，an-1，an都是数域F中的数（注：1,2,……,n-1,n均为a的下角标），n是非负整数，那么表达式

anx^n +an-1x^(n-1)+…+a2x^2 +a1x + a0（an≠0） (1)

叫做数域F上一个文字x的多项式或一元多项式。在多项式（1）中，a0叫做零次多项式或常数项，a1x叫做一次项，一般，aix叫做i次项，ai叫做i次项的系数。一元多项式用符号f(x)，g(x)，…来表示。

7.数制转换

十进制数N和其他d进制数的转换是计算机实现计算的基本问题，其解决方法很多，其中一个简单算法基于下列原理。

N=(N div d) × d + N mod d （其中：div为整除运算，mod为求余运算）

例如：（1348）十进制 = （2504）八进制

N N div 8 N mod 8

1348 168 4

168 21 0

21 2 5

2 0 2

最后一列从下往上取值：2504

未完待续......