模型论核心定理—紧致性定理

模型论核心定理—紧致性定理

上世纪初，罗素悖论把形式语言方法普及开来，基于形式语言的公理化方法遍地开花。

在上世纪50年代，一个理论（表现为形式语言的句子集合）有没有相应的数学模型成为研究热点。

假定有一个句集∑，其任意有限子集合∑’都有模型，则整个句集∑本身必有模型。这就是模型论中的核心定理，称为“紧致性定理”（Compactnesstheorem）。

这个定理很直观，也容易被人接受。但是，它的严格证明却不简单，在上世纪1930年，年仅24岁的Godel第一次严格证明了这一定理，奠定了模型论的理论基础。

数学定理，不受时空限制，放之四海而皆准。此刻，请读者回想学习初等几何定理证明的滋味，鼓起勇气，接受紧致性定理及其逻辑推论。

模型论紧致性定理能够推导出什么结论？实数集合的理论R，假定没有内部矛盾，我们给它添加一个新的句子集合：

  0 ＜ε＜ 1/n, n=1,2,3,4,…

容易验证，把这个新句子集合添加到原来的实数理论R中去，从中取出任意有限子集，只要适当选取ε的数值，都能得到满足，故存在模型。那么，由此根据紧致性定理，添加句子集合：

 0＜ε＜ 1/n, n=1,2,3,4,…

的新理论体系必有模型*R，里面包含一个小于任意正实数而且不为零的无穷小ε。这就是超实数的来历。

有人很不服气，觉得被模型论紧致性定理欺骗了。无穷小竟然被证明存在（不会导致矛盾），反了，反了，诅咒模型论的魔法。

袁萌  2月23日