【Leetcode】526. Beautiful Arrangement

Description:

Suppose you have N integers from 1 to N. We define a beautiful arrangement as an array that is constructed by these N numbers successfully if one of the following is true for the ith position (1 ≤ i ≤ N) in this array:

The number at the ith position is divisible by i.
i is divisible by the number at the ith position.
Now given N, how many beautiful arrangements can you construct?

Example:

Input: 2
Output: 2

Explanation:

The first beautiful arrangement is [1, 2]:
Number at the 1st position (i=1) is 1, and 1 is divisible by i (i=1).
Number at the 2nd position (i=2) is 2, and 2 is divisible by i (i=2).
The second beautiful arrangement is [2, 1]:
Number at the 1st position (i=1) is 2, and 2 is divisible by i (i=1).
Number at the 2nd position (i=2) is 1, and i (i=2) is divisible by 1.

Note:

1. N is a positive integer and will not exceed 15.

Difficulty: Medium

---

思路：

首先，初步尝试在随着N递增时寻找Beautiful 排列规律，发现并无明显的规律可寻，而且所有排列需要穷举才可找到。
如果直接穷举递归，需要进行全排列，则算法的时间复杂度为O(n!)，效率太低不可取。
对于解决穷举问题，可以考虑使用回溯算法。回溯是递归的一种形式，可以用来解决是否有解、求所有解和求最优解的问题。简单来说，假设有一棵树，需要找到所有从树的根节点到叶节点的遍历方式，回溯算法会从根开始，然后选择一个根的节点，再从根的节点的节点进行选择，重复地进行直到找到一个叶节点，找到叶节点后会返回上一次遍历的节点寻找其他未遍历的其他节点，这样省去了重复的遍历过程，保证每次遍历都是新的。

根据回溯的思路，同样，可以对本题的Beautiful排列实现。比如，当N为5时，使用回溯算法先是得到（1,2,3,4,5）排列，符合要求，符合要求的排列数count+1，接着回溯到第四个位置，在剩下的选择中选5，但发现5不符合要求，然后跳过，不再往后判断。同样当得到（1,2,5）这前三个排列时，5已经不符合要求，也不会再往后判断（1,2,5,x,x）。这样减少了直接穷举递归方法中很多不需要判断操作，提高了效率。
以下是用Java的实现过程。

public class Solution {    int count = 0;    public int countArrangement(int N) {        if (N == 0) return 0;        helper(N, 1, new int[N + 1]);        return count;    }    private void helper(int N, int pos, int[] used) {        if (pos > N) {            count++;            return;        }        for (int i = 1; i <= N; i++) {            if (used[i] == 0 && (i % pos == 0 || pos % i == 0)) {                used[i] = 1;                helper(N, pos + 1, used);                used[i] = 0;            }        }    }}

具体来说，计算Beautiful排列的数量，可把长度为N的排列的位置看成结点，建立一个辅助类来记录所遍历结点的位置及在该位置符合要求的值，当结点的位置超过N长度则认为完成了一次Beautiful排列。