2017.2.25 B组 倒霉的小C 题解及其证明

题目大意：

画出n个（n，(-1)^(i+1)*i）的向量，求共经过多少个格点

题解：

O(n)的方法明眼人都看得出来，将整幅图拆成n个i*n的矩阵，问对角线共经过多少个格点
可以看出i*n矩阵对角线共经过gcd(i,n)+1个格点，所以ans=1+Σgcd(i,n)
之后我们可以发现ans=1+Σgcd(i,n)等价于ans=1+Σ(d|n)d*φ(n/d)接下来就可以用欧拉了

证明：

设有一个n乘m的矩阵，设左上角为(0,0)，若对角线穿过格点p(x,y),则以a(x,0),b(0,0),p(x,y)为顶点的三角形与a1(0,0),b1(n,0),c1(n,m)构成的三角形相似，因此n/x=m/y，而多个这种三角形沿着对角线分布，就会有n/x个，总个数则为最小x的贡献，而要使x最小，n/x必须最大且满足n/x能整除m，所以答案即为gcd(n,m)
相信最令人懵逼的不是O(n)方法，而是后面的那条奇奇怪怪的等价公式，即ans=1+Σgcd(i,n)等价于ans=1+Σ(d|n)d*φ(n/d),以下给出证明：
其实公式2是表示gcd(i,n)为d的i的个数等于φ(n/d)表示小于n/d的数中与n/d互质的数的个数。设x为小于n/d的与n/d互质的数，则gcd(x*d,n)一定为d，因为gcd(i,n)一定为d或n/d的因子，而若gcd(i,n)不为d，则一定存在d1|n且d1>d，那么这个d1至少有一个n/d的因子，而x与n/d互质，所以gcd(n,x*d)一定为d，所以ans=1+Σgcd(i,n)等价于ans=1+Σ(d|n)d*φ(n/d)