[BZOJ 3994][SDOI 2015]约数个数 数学+反演

∑i=1n∑j=1nd(i,j)=∑i=1n∑j=1m⌊ni⌋∗⌊mj⌋,gcd(i,j)=1
主要就是这个公式吧,其他的都是很好写的莫比乌斯反演,一股脑的推就好了.对于这个式子如果想要看严格的证明的话就去看po姐的博客吧,很好懂的,但是后来我想出来一个感性认识的,不过我觉得肯定会被打脸,没事,我已经做好准备了
感性证明:
计算一个整数x的约数有多少个,我们可以这样来算,把x因数分解:
x=p1a1∗p2a2∗p3a3.......
这样x的约数个数就是(1+a1)(1+a2)(1+a3)……因为对于x的每一个约数都可以用分解出来的素数和不同次方相乘得到,而每一个数都可以有ai+1种选择.例如12=2^2 * 3,那么12的约数就有
1*1=1
1*2=2
1*4=4
1*3=3
2*3=6
4*3=12
联系刚才的性质可以很显然的发现12的每一个约数都可以由两个互质的数相成得到(假设1与所有数互质),因为对于x因数分解出来的每一个因数都是两两互质的,所以我们可以枚举互质的数,计算这个数可以在哪些数中间造成贡献,即是上面的公式.
严格的证明的话还是%%po姐吧,我就YY一下

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#define maxn 50021#define LL long longusing namespace std;int n,m,mu[maxn],vis[maxn],pri[maxn],cnt;int f[maxn],g[maxn],T;void pre(){    mu[1]=1,f[1]=1;    for(int i=2;i<maxn;i++){        if(!vis[i]){pri[++cnt]=i;mu[i]=-1,f[i]=2,g[i]=1;}        for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<maxn;j++){            vis[pri[j]*i]=1;            mu[pri[j]*i]=-mu[i];            g[pri[j]*i]=1;            f[pri[j]*i]=f[i]*2;            if(i%pri[j]==0){                mu[i*pri[j]]=0;                g[pri[j]*i]=g[i]+1;                f[pri[j]*i]=f[i]/(g[i]+1)*(g[i]+2);                break;            }        }    }    for(int i=2;i<maxn;i++)f[i]+=f[i-1],mu[i]+=mu[i-1];}void solve(){    LL ans=0;    for(int j,i=1;i<=n;i=j+1){        j=min(n/(n/i),m/(m/i));        ans+=(LL)(mu[j]-mu[i-1])*f[n/i]*f[m/i];    }    printf("%lld\n",ans);}int main(){    pre();    scanf("%d",&T);    while(T--){        scanf("%d%d",&n,&m);        if(n>m)swap(n,m);        solve();    }    return 0;}