快速幂精解

快速幂的原理及使用

1.预备知识：c语言的位运算法则（正好也方便自己以后查阅）

c语言提供了6种位运算符：& 按位与、| 按位或、^ 按位异或、~ 取反、<< 左移、>> 右移

1.1按位与运算

按位与运算符"&"是双目运算符。其功能是参与运算的两数各对应的二进制相与，只有对应的两个二进制位均为1时，结果位才为1，否则为0.参与运算的数以补码方式出现。

例如：9&5

00001001（9的二进制补码）&00000101（5的二进制补码）=00000001（1的二进制补码）

所以9&5=1。

按位与运算通常用来对某些位清0或保留某些位。例如把a的高8位清0，保留低8位，可作a&255运算（255的二进制数为0000000011111111）。

1.2按位或运算

按位或运算符"|"是双目运算符。其功能是参与运算的两位数各对应的二进制位相或。只要对应的两个二进制位有一个为1时，结果位就为1.参与运算的两个数均以补码出现。

例如：9|5

00001001（9的二进制补码）|00000101（5的二进制补码）=00001101（13的二进制补码）

1.3按位异或运算

按位异或运算符"^"是双目运算符。其功能是参与运算的两数各对应的二进位相异或，当两对应的二进制相异时，结果位为1。参与运算的数任以补码出现。

例如：9^5

00001001（9的二进制补码）^00000101（5的二进制补码）=00001100（十进制为12）

1.4求反运算

求反运算符~为单目运算符，具有右结合性。其功能是对参与运算的数的各二进制位按位求反。

例如：~9

~(00001001)=11110110

1.5左移运算

左移运算符"<<"是双目运算符。其功能把"<<"左边的运算数的各二进制位全部左移若干位，由"<<"右边的数指定移动的位数。高位丢弃，低位补0。

例如：a<<4

指把a的各二进制位向左移动4位，a=00000011(十进制3)，左移4位后为00110000(十进制48)。

1.6右移运算

右移运算符">>"是双目运算符。其功能把">>"左边的运算数的各二进制位全部右移若干位，由">>"右边的数指定移动的位数。

例如：a>>2

指把a的各二进制位向右移动2位，a=00001111(十进制15)，右移2位后为00000011(十进制3)

对于有符号数，在右移时，符号位将随同移动。当为正数时，最高位补0，而为负数时，符号位为1，最高位补0还是补1取决于编译系统的规定。但大多数都规定补1。

2.幂运算的原理

首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^n，按照朴素算法就是把a连乘n次，这样求解时间复杂度自然是O(n)，而快速幂能做到O(logn)。当我们求a^n时，其实n可以拆成二进制，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当n==11时：

a^11=a^(2^0+2^1+2^3)

11的二进制是1011,11=2^3*1+2^2*0+2^1*1+2^0*1，因此我们将a^11转化为a^(2^0+2^1+2^3)。

3.幂运算的应用

由于是二进制，很自然地想到用位运算这个工具：&和>> 

       &运算通常用于二进制取位操作，例如一个数&1的结果就是取这个二进制数的末位。而且还可以用来判断奇偶：x&1==0为偶数，x&1==1为奇数。

      >>运算将二进制向右移若干位，高位补0。

求解a^11的算法如下：

typedef long long LLLL poww(LL a,LL n){LL ans=1,base=a;while(n!=0){if(n&1)ans*=base;base*=base;n>>=1;}return ans;}

代码解释：

1.首先定义一个long long 的数据类型（防止越界）;

2.然后是赋初值;

3.一个while循环，假如n为0了，退出循环，返回ans，否则继续循环;

4.if判断，取n二进制的末位，如果不为0，就令ans*=base,否则什么也不做；

5.base*=base的目的是利用上一次计算出来的结果；

6.最后一步是n>>=1，它的意思是将n的二进制数右移一位，并且将结果重新赋给变量n。