动态规划之最长公共子序列

目录

1. 最长公共子序列简介
2. 举例说明并分析
3. 代码块
4. 测试结果

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最长公共子序列简介

一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列，确切的说，若给定序列X={x0,x1…,xm-1},
则另一序列Z={z0,z1,…,zk-1},X的子序列是指存在一个严格的下标序列{i0,i1…,ik-1},使得对于所有的j=0，1，…，k-1有Zj=Xij。例如序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列，相应的递增下标序列维{1，2，4，6}。

最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。求解最长公共子序列长度。

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举例说明并分析

穷举搜索法是最容易想到的方法，对X的所有子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列，并且在检查过程中记录最长的公共子序列，X的所有子序列都检查后即可求出X和Y的最长公共子序列，x的每个子序列相应与下标集{0，1，2，……，m-1}的一个子集，因此共有2的m次方个不同子序列，从而穷举法需要指数时间。
事实上，最长公共子序列问题具有最优子结构性质。

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

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首先建立子问题最优值的递归关系。用c[i][j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度，b[i][j]记录c[i][j]的值是由哪一个子问题的解得到的。
动态规划是自底向上进行递归的 那么在计算c[i][j]之前，c[i-1][j-1]和c[i-1][j]以及c[i][j-1]都应该知道

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代码块

#include <stdio.h>#include<stdlib.h>#include <string.h>#define MAXLEN 100void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN]){    int i, j;    for (i = 0; i <= m; i++)        c[i][0] = 0;          //单个序列的最长公共子序列为0    for (j = 1; j <= n; j++)        c[0][j] = 0;          //单个序列的最长公共子序列为0    for (i = 1; i <= m; i++)    {        for (j = 1; j <= n; j++)        {            if (x[i-1] == y[j-1])//因为x序列和y序列的坐标都是从0开始的，所有最后一个下标为i-1,j-1;            {                c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;                  b[i][j] = 1;            }            else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])            {                c[i][j] = c[i - 1][j]; //满足m-1!=n-1且k-1！=m-1情况从X{0,1,2...,m-2}和Y{0,1,2..,n-1}开始寻找                b[i][j] = 2;            }            else            {                c[i][j] = c[i][j - 1]; //满足m-1!=n-1且k-1！=n-1情况从X{0,1,2...,m-1}和Y{0,1,2..,n-2}开始寻找                b[i][j] = 3;            }        }    }}void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j){    if (i == 0 || j == 0)  //递归到两个数组中任意一个的下标为0时结束        return;    if (b[i][j] == 1)    {        PrintLCS(b, x, i - 1, j - 1);        printf("%c ", x[i - 1]);    }    else if (b[i][j] == 2)        PrintLCS(b, x, i - 1, j);    else        PrintLCS(b, x, i, j - 1);}int main(int argc, char **argv){    char x[MAXLEN] ;    char y[MAXLEN] ;    printf("请输入较长序列的数据:\n");    scanf("%s", x);    getchar();    printf("请输入较短序列的数据:\n");    scanf("%s", y);    int b[MAXLEN][MAXLEN];    int c[MAXLEN][MAXLEN];    int m, n;    m = strlen(x);    n = strlen(y);    LCSLength(x, y, m, n, c, b);    printf("最长公共子序列是:\n");    PrintLCS(b, x, m, n);//x数组必须是序列较长的数组    printf("\n长度是%d", c[m][n]);    system("pause");    return 0;}

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测试结果