BJ模拟（1） D1T1 Delight for a Cat

 Delight for a Cat

题目背景：

thoj22

分析：

首先，如果你没有学习过NOI2008的志愿者招募，请先去A掉那道题这里

首先，假设这只猫在所有天数都是睡觉，我们稍后再决策将哪些天数改为吃东西。

我们用 X_i = 0 表示这只猫在第i天睡觉， X_i = 1 表示吃东西。

则有下列不等式：

m_e ≤ X₁ + X₂+ X₃ +...+ X_k ≤ k − m_s

m_e ≤ X₂ + X₃+ X₄ +...+ X_k+1 ≤ k − m_s

...

m_e ≤ X_n-k+1 + X_n-k+2+...+ X_n ≤ k − m_s

我们令 0 ≤ Y₁ ≤ k – m_s − m_e ，则上述不等式可以转化为以下

的等式：

X₁ + X₂+ X₃ +...+ X_k + Y₁ = k − m_s

X₂ + X₃+ X₄ +...+ X_k+1 + Y₂ = k − m_s

...

X_n−k+1 + X_n−k+2 +...+ X_n +Y_n−k+1 = k − m_s

将这些等式两两相减，得：

X₁ − X_k+1 + Y₁− Y₂=0

X₂ − X_k+2 + Y₂− Y₃=0

...

X_n−k − X_n + Y_n−k − Y_n−k+1 = 0

(k − m_s) – X₁ − X₂ −...− X_k − Y₁ = 0

X_n−k+1 + X_n−k+2 +...+ X_n +Y_n−k+1 − (k − m_s) = 0

我们把等式左边加起来，发现恰好为0，满足流量平衡。

把上述每个等式看成一个点，若在第j个等式有-Y_i，第k个等式有Y_i，则向连一条从j到k的容量为k–m_s–m_e的边，若在第j个等式有-X_i，在第k个等式有X_i则连一条j到k容量为1的边，然后对于正的常数c出现在第j个等式，从原点到j连一条容量为c的边，若对于负的常数-c出现在第k个等式，从k向汇点连一条容量为c的边，因为这一题还需要有费用，所以在相应的边上加上费用限制即可，最后跑一遍费用流。

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