容斥原理 && 欧拉函数 && 抽屉原理

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(1)容斥原理 ：重要应用 求出一个数n在区间[1,m]里面有多少个数与它互质。假设数据不超过int型。

 

实现过程分为两步：

1, 求出m的质因子 并保存在数组里面；

2, 求出区间[1,n]里面有多少个数与m不互质。

 

代码：

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1. #include <cstdio>  
2. #include <cmath>  
3. int p[10];//保存质因子  int型n不会超过10个   
4. int k;//记录质因子个数  
5. void getp(int n)//求出n的质因子   
6. {  
7.     int i;  
8.     k = 0;//初始化  
9.     for(i = 2; i*i <= n; i++)  
10.     {  
11.         if(n % i == 0)  
12.         {  
13.             p[k++] = i;//保存质因子   
14.             while(n % i == 0)  
15.             n /= i;  
16.         }  
17.     }  
18.     if(n > 1) p[k++] = n;//本身是质数   
19. }   
20. int nop(int m)//求出区间[1,m]里面有多少个数与n不互质   
21. {  
22.     int top = 0;//队列顶点   
23.     int que[10100];  
24.     int i, j, t;  
25.     que[top++] = -1;//队列数组保存n所有质因子任意不相同组合的乘积   
26.     for(i = 0; i < k; i++)  
27.     {  
28.         t = top;//利于下面计算    
29.         for(j = 0; j < t; j++)  
30.         {  
31.             que[top++] = que[j] * p[i] * (-1);//奇加偶减   
32.         }  
33.     }  
34.     int sum = 0;//统计个数  
35.     for(i = 1; i < top; i++)  
36.     sum += m / que[i];  
37.     return sum;  
38. }  
39. int main()  
40. {  
41.     int n, m;  
42.     while(scanf("%d%d", &n, &m), n||m)//求区间[1,m]内有多少个数与n互质   
43.     {  
44.         getp(n);  
45.         printf("%d\n", m-nop(m));  
46.     }  
47.     return 0;  
48. }  

上面的代码实现是很简单的，也是很好理解的。 网上还有DFS版本，位运算版本的以及递归版本的，这里再给个递归的（另外本人理解不太透彻），至于其它两个有兴趣的可以上网查下。

 

递归版本：

 

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1. #include <cstdio>  
2. #include <cmath>  
3. int p[10];//保存质因子  int型n不会超过10个   
4. int k;//记录质因子个数  
5. void getp(int n)//求出n的质因子   
6. {  
7.     int i;  
8.     k = 0;//初始化  
9.     for(i = 2; i*i <= n; i++)  
10.     {  
11.         if(n % i == 0)  
12.         {  
13.             p[k++] = i;//保存质因子   
14.             while(n % i == 0)  
15.             n /= i;  
16.         }  
17.     }  
18.     if(n > 1) p[k++] = n;//本身是质数   
19. }   
20. int nop(int m, int t)//求出区间[1,m]里面有多少个数与n不互质   
21. {  
22.     int i, sum = 0;  
23.     for(i = t; i < k; i++)  
24.     sum += m / p[i] - nop(m/p[i],i+1);  
25.     return sum;  
26. }  
27. int main()  
28. {  
29.     int n, m;  
30.     while(scanf("%d%d", &n, &m), n||m)//求区间[1,m]内有多少个数与n互质   
31.     {  
32.         getp(n);  
33.         printf("%d\n", m-nop(m, 0));  
34.     }  
35.     return 0;  
36. }  

 

(2)欧拉函数：说白了，就是指一个数n在[1,n-1]区间有多少个数与它互质（和容斥原理一样的应用）。

比如说，euler[n] = m代表的意思是在区间[1,n-1]里面有m个数与n互质。

欧拉函数公式：(我们假设n的质因子有x,y) euler[n] = n * (1-1/x) * (1-1/y)。若有多个继续添上即可。

欧拉函数拓展：小于或等于n的数中（n > 1），与n互质的数的总和为：euler[n] * n / 2。

现给个实例：求区间[1,100]内所有数的欧拉函数。这里eu[1] = 1。我不知道会不会有一些题目eu[1] = 0。。。注意啊

 

求欧拉函数 有两个思路：

1, 筛素数打表，用数组记录每个数的欧拉函数（适用于n不是很大的情况，因为数组不能开无限大）；

2, 直接求法计算单个欧拉函数，对于有些题目会比较慢（对于很大的n依然可以求解）。

 

筛素法：

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1. #include <cstdio>  
2. #include <cstring>  
3. #define MAX 100+1  
4. int eu[MAX];  
5. void euler()  
6. {  
7.     int i, j;  
8.     eu[1] = 1;//1的欧拉函数为1 看题目而定   
9.     for(i = 2; i < MAX; i++)  
10.     {  
11.         if(!eu[i])  
12.         {  
13.             for(j = i; j < MAX; j += i)  
14.             {  
15.                 if(!eu[j]) eu[j] = j;  
16.                 eu[j] = eu[j] * (i-1) / i;  
17.             }  
18.         }  
19.     }  
20. }  
21. int main()  
22. {  
23.     euler();  
24.     for(int i = 1; i < MAX; i++)  
25.     printf("%d\n", eu[i]);  
26.     return 0;  
27. }  

 

计算单个欧拉函数：

 

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1. #include <cstdio>  
2. #include <cstring>  
3. #define MAX 100+1  
4. int euler(int n)//求n的欧拉函数   
5. {  
6.     int i;  
7.     int eu = n;//欧拉函数   
8.     for(i = 2; i*i <= n; i++)  
9.     {  
10.         if(n % i == 0)//质因子   
11.         {  
12.             eu = eu * (i-1) / i;  
13.             while(n % i == 0)  
14.             n /= i;//避免再次累加   
15.         }   
16.     }  
17.     if(n > 1) eu = eu * (n-1) / n;//本身就是 质数   
18.     return eu;  
19. }  
20. int main()  
21. {  
22.     for(int i = 1; i < MAX; i++)  
23.     printf("%d\n", euler(i));  
24.     return 0;  
25. }  

 

对于很多题目，容斥原理若和欧拉函数一起使用，或许会增加程序效率。

 

 

(3) 抽屉原理： 又称鸽巢原理，指的是n+1个苹果放进n个盒子里面，一定会有一个盒子有两个苹果。

定理： 一个由n个数构成的数列，总能找到若干个连续的数 使它们之和能被n整除。

证明： 对于数列里面的元素a[1]，a[2]，...... a[n]。我们可以构造一个数组sum[]，用sum[ i ]来存储前i个元素之和（包括第i个元素）。

那么sum数组里面所有的元素只有两种情况：(1) 至少存在一个sum[ i ] 能被n整除；(2) 对于所有的sum[ i ] 都不能被n整除 。

 

情况(1)：定理成立。。。

情况(2)：首先我们知道sum数组里面有n个元素，又因为它们都不能被n整除，那么我们可以得到以下信息：任意的(sum[i] %n)都非0且结果都在(1到n-1范围里面)

                  这样的话--> n个结果在  1到n-1 范围内，必然存在两个相等的结果。而这两个相同结果所对应的sum[] 之差 必定能被 n整除。

 

证毕。

 

对于抽屉原理，可以有以下拓展：(1) 数列里面元素个数只要大于或者等于n也成立 (2) 找到的 若干个数 不是连续的也成立。