poj1811(pollard-rho求一个大数(64位)的最小因子)

poj 1811  Prime Test

题意：给定一个64位整数，问是否为质数，如果不是，则输出其最小因子。
Pollard-rho分解的素数会有重复！

分析：


经典题！！


数学题


miller_rabbin素数判定。若不是，则pollard_rho分解质因子，找到最小即可。


Miller-rabin


Miller-rabin算法是一个用来快速判断一个正整数是否为素数的算法。它利用了费马小定理，即：如果p是质数，且a，p互质，那么a^(p-1) mod p恒等于1。也就是对于所有小于p的正整数a来说都应该复合a^(p-1) mod p恒等于1。那么根据逆否命题，对于一个p，我们只要举出一个a（a<p）不符合这个恒等式，则可判定p不是素数。Miller-rabin算法就是多次用不同的a来尝试p是否为素数。


但是每次尝试过程中还做了一个优化操作，以提高用少量的a检测出p不是素数的概率。这个优化叫做二次探测。它是根据一个定理：如果p是一个素数，那么对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 等于1，则x=1或p-1。逆否命题：如果对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 不等于1，则p不是素数。根据这个定理，我们要计算a^(p-1) mod p是否等于1时，可以这样计算，设p-1=(2^t) * k。我们从a^k开始，不断将其平方直到得到a^(p-1)，一旦发现某次平方后mod p等于1了，那么说明符合了二次探测定理的逆否命题使用条件，立即检查x是否等于1或p-1，如果不是则可直接判定p为合数。


 


pollard-rho


这是一个用来快速对整数进行质因数分解的算法，需要与Miller-rabin共同使用。求n的质因子的基本过程是，先判断n是否为素数，如果不是则按照一个伪随机数生成过程来生成随机数序列，对于每个生成的随机数判断与n是否互质，如果互质则尝试下一个随机数。如果不互质则将其公因子记作p，递归求解p和n/p的因子。如果n是素数则直接返回n为其素因子。


至于这个随机数序列是如何生成的暂时还不能理解，而且也是有多种不同的方式。这个序列生成过程中会产生循环，遇到循环则立即退出。

题意：给一个大数2^63，判断是否是素数，不是的话输出它的最小质因子；

思路：Miller-rabin 判素数 算法 和 pollard - rho  分解数的算法的结合

找了一个代码模板，很不错;

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<vector>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn = 1000000 + 10;#define INF 0x3f3f3f3f#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof x )typedef long long ll;#define eps 10e-10const ll Mod = 1000000007;typedef pair<ll, ll> P;#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <time.h>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;#define ll __int64//****************************************************************// Miller_Rabin 算法进行素数测试//速度快，而且可以判断 <2^63的数//****************************************************************const int S=20;//随机算法判定次数，S越大，判错概率越小//计算 (a*b)%c.   a,b都是long long的数，直接相乘可能溢出的/*ll Mult_mod (ll a,ll b,ll c)   //  a,b,c <2^63{    a%=c;    b%=c;    ll ret=0;    while (b)    {        if (b&1) {ret+=a;ret%=c;}        a<<=1;        if (a>=c)a%=c;        b>>=1;    }    return ret;}*/ll Mult_mod (ll a,ll b,ll c)  //减法实现比取模速度快{    //返回(a*b) mod c,a,b,c<2^63a%=c;b%=c;ll ret=0;while (b){if (b&1){ret+=a;if (ret>=c) ret-=c;}a<<=1;if (a>=c) a-=c;b>>=1;}return ret;}//计算  x^n %cll Pow_mod (ll x,ll n,ll mod) //x^n%c{    if (n==1) return x%mod;    x%=mod;    ll tmp=x;    ll ret=1;    while (n)    {        if (n&1) ret=Mult_mod(ret,tmp,mod);        tmp=Mult_mod(tmp,tmp,mod);        n>>=1;    }    return ret;}//以a为基,n-1=x*2^t      a^(n-1)=1(mod n)  验证n是不是合数//一定是合数返回true,不一定返回falsebool Check (ll a,ll n,ll x,ll t){    ll ret=Pow_mod(a,x,n);    ll last=ret;    for (int i=1;i<=t;i++)    {        ret=Mult_mod(ret,ret,n);        if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true; //合数        last=ret;    }    if (ret!=1) return true;    return false;}// Miller_Rabin()算法素数判定//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)//合数返回false;bool Miller_Rabin (ll n){    if (n<2) return false;    if (n==2) return true;    if ((n&1)==0) return false;//偶数    ll x=n-1;    ll t=0;    while ((x&1)==0) {x>>=1;t++;}    for (int i=0;i<S;i++)    {        ll a=rand()%(n-1)+1; //rand()需要stdlib.h头文件        if (Check(a,n,x,t))            return false;//合数    }    return true;}//************************************************//pollard_rho 算法进行质因数分解//************************************************ll factor[100];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）int tol;//质因数的个数。数组下标从0开始ll Gcd (ll a,ll b){    if (a==0) return 1;  //???????    if (a<0) return Gcd(-a,b);    while (b)    {        ll t=a%b;        a=b;        b=t;    }    return a;}ll Pollard_rho (ll x,ll c){    ll i=1,k=2;    ll x0=rand()%x;    ll y=x0;    while (true)    {        i++;        x0=(Mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;        ll d=Gcd(y-x0,x);        if (d!=1 && d!=x) return d;        if (y==x0) return x;        if (i==k) {y=x0;k+=k;}    }}//对n进行素因子分解void Findfac (ll n){    if (Miller_Rabin(n)) //素数    {        factor[tol++]=n;        return;    }    ll p=n;    while (p>=n) p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);    Findfac(p);    Findfac(n/p);}int main ()  // Poj 1811 交G++ 比c++ 快很多{   // srand(time(NULL));//需要time.h头文件  //POJ上G++要去掉这句话int T;scanf("%d",&T);while (T--){ll n;scanf("%I64d",&n);if (Miller_Rabin(n)){printf("Prime\n");continue;}tol=0;Findfac(n);ll ans=factor[0];for (int i=1;i<tol;i++)if (factor[i]<ans)ans=factor[i];printf("%I64d\n",ans);}return 0;}