2.5 矩阵行列式

2.5 矩阵行列式

矩阵行列式是一个特殊的函数，它可以将一个正方矩阵映射为一个实数，正方矩阵A的行列式通常用符号detA表示。行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。此外，当线性方程组对应的行列式不为零时，由克莱姆法则，可以直接以行列式的形式写出方程组的解。但是，我们使用行列式的主要目的是为了用它得到逆矩阵（2.7节的主题）。此外，还可以证明：当且仅当正方矩阵A的行列式detA≠0时，它才是可逆的。这个结论非常有用，因为它提供了一个判断矩阵是否可逆的计算工具。在对行列式下定义之前，我们首先介绍余子式的概念。

2.5.1余子式

给定一个n×n矩阵A，余子式A¯¯¯¯ij是指删除了第i行和第j列后的(n − 1)×(n − 1)矩阵。

例2.8

找到下列矩阵的余子式A¯¯¯¯11、A¯¯¯¯22和A¯¯¯¯13：

A=⎡⎣⎢A11A21A31A12A22A32A13A23A33⎤⎦⎥

删除第1行和第1列可得：

A¯¯¯¯11=[A22A32A23A33]

删除第2行和第2列可得：

A¯¯¯¯22=[A11A31A13A33]

删除第1行和第3列可得：

A¯¯¯¯13=[A21A31A22A32]

2.5.2 定义

行列式是递归定义的；例如，4×4矩阵的行列式是以3×3矩阵的形式定义的，3×3矩阵的定义式是以2×2矩阵的形式定义的，2×2矩阵的定义式是以1×1矩阵的形式定义的（1×1矩阵A=[A11]可简单地表示为det[A11] = A11）。若A为一个n×n矩阵，在n＞1时我们可以定义：

detA=∑j=1nA1j(−1)1+jdetA¯¯¯¯1j（公式2.4）

回忆一下2×2矩阵的余子式A¯¯¯¯ijA¯ij的定义，可以得到以下式子：

det[A11A21A12A22]=A11det[A22]−A12det[A21]=A11A22−A12A21

若是3×3矩阵，则公式如下：

det⎡⎣⎢A11A21A31A12A22A32A13A23A33⎤⎦⎥=A11det[A22A32A23A33]−A12det[A21A31A23A33]+A13det[A21A31A22A32]

 换成4×4矩阵，公式变为：

det⎡⎣⎢⎢⎢A11A21A31A41A12A22A32A42A13A23A33A43A14A24A34A44⎤⎦⎥⎥⎥=A11det⎡⎣⎢A22A31A42A23A33A43A24A34A44⎤⎦⎥−A12det⎡⎣⎢A21A31A41A23A33A43A24A34A44⎤⎦⎥+A13det⎡⎣⎢A21A31A41A22A32A42A24A34A44⎤⎦⎥−A14det⎡⎣⎢A21A31A41A22A32A42A23A33A43⎤⎦⎥

在3D图形中，我们主要使用4×4矩阵，所以就不再讨论n＞4时的公式了。

例2.9

求下面矩阵的行列式：

A=⎡⎣⎢21−2−533347⎤⎦⎥

我们可以得到：

detA=A11det[A22A32A23A33]−A12det[A21A31A23A33]+A13det[A21A31A22A32]detA=2det[3347]−(−5)det[1−247]+3det[1−233]=2(3⋅7−4⋅3)+5(1⋅7−4⋅(−2))+3(1⋅3−3⋅(−2))=18+75+27=120