正定矩阵在物理上的应用

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我来说一个正定矩阵在物理上的应用。

物理上有个定理叫做最小作用量原理，这是力学的基础。这个定理说，粒子总是沿着作用量极小的那条路径运动的。

作用量说白了就是粒子的动能和势能的差。大家都知道动能正比于速度的平方。但是你考虑粒子未必只有一个独立的速度分量，特别是那些由许多粒子构成的系统，可能会有成千上万个速度。所以一般来说，动能是速度的二次型。也就是说，可以写成中间一个矩阵，速度矢量夹在两边。中间那个矩阵地位与质量相当，有时就称为质量矩阵。

好了，现在我们有一个很重要的要求，就是质量矩阵必须是正定的。
为什么呢？因为正定矩阵的二次型也是正定的，也就是说最少最少也要是0.
作用量要极小化，如果质量矩阵不是正定的，那么动能就可以是负的。这样我们如果使某些速度无限地增大，动能就越来越负，作用量就没有底了，怎么极小化呢。所以质量矩阵的正定性是能够实现作用量极小的要求，一切物理上合理的系统都应该具有正定的质量矩阵。