洛谷P1850 [NOIP2016]换教室

链接

　　https://www.luogu.org/problem/show?pid=1850

离散型随机变量的数学期望

　　在高中的数学学习中，我们学习了概率，并且接触到了离散型随机变量的分布列。
　　在这里，我把离散型随机变量的数学理解为分布列中每个X的取值乘以其概率的和。期望型dp还要多做题多积累，这样才能逐渐加强理解。
　　百度百科：离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率pi乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望

初学者的纠结

　　在我的前一篇文章中，介绍了“绿豆蛙的归宿”这道题目，那道题目中，决策是固定的，我们只需要求出期望。我用了顺推的方法，设f[i]表示从起点跳到这个点的期望值，p[i]表示从起点跳到这个点的概率，那么对于点u的一条权值为w的出边(u,v)，这样更新答案：f[v]+=(f[u]+w×p[u])cd[u]。
　　
　　举个例子，上面这个就是点u，其中进来的边表示了全部三条可能的路径（注意是路径不是边），花费分别是c1、c2、c3，概率分别是p1、p2、p3，那么根据期望的定义，f[u]=p1c1+p2c2+p3c3。假设我们已经知道了f[u]的值，有一条出边(u,v,w)，显然点u对点v的贡献就是[p1(c1+w)+p2(c2+w)+p3(c3+w)]/cd[u]，将f[u]带入，式子化为[f[u]+w(p1+p2+p3)]/cd[u]，因此我才会维护一个概率之和p[i]，转移方程f[v]+=(f[u]+w×p[u])cd[u]的意思也就解释完了。

题解

　　这道题和那个不一样，决策不是固定的，决策要由你来做出。
　　f[i][j][0/1]表示已经考虑了前i门课程，申请了j次教室，这个教室有没有申请更换的期望。
　　直接列出转移方程。
　　

f[i][j][0]=min⎧⎩⎨⎪⎪f[i−1][j][0]+dist[c[i]][d[i−1]]f[i−1][j][1]+dist[c[i]][c[i−1]](1−k[i])+dist[c[i]][d[i−1]]k[i]

　　

f[i][j][1]=min⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f[i−1][j−1][0]+dist[c[i]][c[i−1]](1−k[i])+dist[d[i]][c[i−1]]k[i]f[i−1][j−1][1]+dist[c[i]][c[i−1]](1−k[i])(1−k[i−1])+dist[c[i]][d[i−1]](1−k[i])k[i−1]+dist[d[i]][c[i−1]]k[i](1−k[i−1])+dist[d[i]][d[i−1]]k[i]k[i−1]

　　作为一名初学者，对于这个方程的正确性纠结了好长时间，对于上面提到的绿豆蛙的归宿那道题，期望在转移的时候要乘上概率，而这个方成里，期望的转移却没有乘上概率，这是为什么？
　　详细考虑之后，发现其实这个式子中也含有了概率，只不过所有概率的和加起来等于1，所以略去了而已。这道题和绿豆蛙的不同在于，它的每一个状态的概率都是1，绿豆蛙中所有状态的概率加起来等于1。其实就是说绿豆蛙中，它怎么跳已经是固定的了，只要你算个期望，但在这道题目中，你要帮他做出决策，因此每种可能的决策的状态概率肯定是1。这两道题目的状态设计在本质上有不同，绿豆蛙中一个状态只是一个中间量，但换教室中一个状态就代表了一种可能的结果。

代码

//期望DP#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#define maxn 2100#define maxv 310#define maxe (90010<<1)#define inf 0x3f3f3f3fusing namespace std;int N, M, V, E, head[maxv], to[maxe], nex[maxe], w[maxe],  c[maxn],    d[maxn];double f[maxn][maxn][2], k[maxn], dis[maxv][maxv];void init(){    int i, j, kk, a, b;    double v;    scanf("%d%d%d%d",&N,&M,&V,&E);    for(i=1;i<=N;i++)scanf("%d",c+i);    for(i=1;i<=N;i++)scanf("%d",d+i);    for(i=1;i<=N;i++)scanf("%lf",k+i);    for(i=1;i<=V;i++)for(j=1;j<=V;j++)if(i^j)dis[i][j]=1e60;    for(i=1;i<=E;i++)    {        scanf("%d%d%lf",&a,&b,&v);        dis[a][b]=dis[b][a]=min(dis[a][b],v);    }    for(kk=1;kk<=V;kk++)for(i=1;i<=V;i++)for(j=1;j<i;j++)        dis[i][j]=dis[j][i]=min(dis[i][j],dis[i][kk]+dis[kk][j]);}void dp(){    int i, j;    double t;    for(i=0;i<=M;i++)f[1][i][0]=f[1][i][1]=1e60;    f[1][0][0]=f[1][1][1]=0;    for(i=2;i<=N;i++)        for(j=0;j<=M;j++)        {            f[i][j][0]=f[i][j][1]=1e60;            t=1e60;            t=min(t,f[i-1][j][0]+dis[c[i]][c[i-1]]);            t=min(t,f[i-1][j][1]+dis[c[i]][c[i-1]]*(1-k[i-1])+dis[c[i]][d[i-1]]*k[i-1]);            f[i][j][0]=t;            if(!j)continue;            t=1e60;            t=min(t,f[i-1][j-1][0]+dis[c[i]][c[i-1]]*(1-k[i])+dis[d[i]][c[i-1]]*k[i]);            t=min(t,f[i-1][j-1][1]+dis[c[i]][c[i-1]]*(1-k[i])*(1-k[i-1])                                  +dis[c[i]][d[i-1]]*(1-k[i])*k[i-1]                                  +dis[d[i]][c[i-1]]*k[i]*(1-k[i-1])                                  +dis[d[i]][d[i-1]]*k[i]*k[i-1]);            f[i][j][1]=t;        }    t=1e60;    for(i=0;i<=M;i++)t=min(t,min(f[N][i][0],f[N][i][1]));    printf("%.2lf",t);}int main(){    init();    dp();    return 0;}