树-Tree

作为基本的数据结构，树在各种算法题中或者现实中有得到广泛的应用。除了基本的普通二叉树，衍生出了二叉排序树、红黑树、B+/B树等等。这里我们对树的一些基本的操作以及高级应用进行总结。

一、 基本操作

既然是对树进行总结，那么首先要总结的就是树的遍历。树的遍历分为前序、中序、后序。
一般对于树的遍历，常见的是用递归实现。递归的实现，可以使得代码更加清晰易懂。但是递归这种操作在JVM中，假如递归层数太多，会占用栈的大部分空间。因此我们不仅要掌握递归操作，也需要掌握非递归操作。非递归操作可以查看我的另一篇博客

前序

递归

public void preOrder(TreeNode root ,List<TreeNode> list) {    if(root == null) {        return;    }    list.add(root);    preOrder(root.left , list);    preOrder(root.right , list);}

非递归

public List<TreeNode> preOrder(TreeNode root) {    List<TreeNode> resultList = new ArrayList<TreeNode>();    if(root == null){        return resultList;    }    Deque<TreeNode> stack = new ArrayDeque<>();    TreeNode p = root;    while(!stack.isEmpty() || p!=null) {        if(p != null){            stack.push(p);            resultList.add(p);            p=p.left;        }else {            TreeNode temp = stack.pop();            p=temp.right;        }    }}

中序

递归

public void preOrder(TreeNode root ,List<TreeNode> list) {    if(root == null) {        return;    }    preOrder(root.left , list);    list.add(root);    preOrder(root.right , list);}

非递归

public List<TreeNode> preOrder(TreeNode root) {    List<TreeNode> resultList = new ArrayList<TreeNode>();    if(root == null){        return resultList;    }    Deque<TreeNode> stack = new ArrayDeque<>();    TreeNode p = root;    while(!stack.isEmpty() || p!=null) {        if(p != null){            stack.push(p);            p=p.left;        }else {            TreeNode temp = stack.pop();            resultList.add(p);            p=temp.right;        }    }}

后序

递归

public void preOrder(TreeNode root ,List<TreeNode> list) {    if(root == null) {        return;    }    preOrder(root.left , list);    preOrder(root.right , list);    list.add(root);}

非递归

public List<TreeNode> preOrder(TreeNode root) {    List<TreeNode> resultList = new ArrayList<TreeNode>();    if(root == null){        return resultList;    }    Deque<TreeNode> stack = new ArrayDeque<>();    TreeNode p = root;    while(!stack.isEmpty() || p!=null) {        if(p != null){            stack.push(p);            result.addFirst(p.val);             p=p.right;        }else {            TreeNode temp = stack.pop();            p=temp.left;        }    }}

二、遍历提升

在上述的非递归方法中，我们所占用了O(n)空间复杂度，但是其实还有占用O(1)的非递归遍历方法。这种方法就是Morris遍历。使用Morris遍历可以只需要占用O(1)的空间复杂度。但是他的运行也需要占用更多的时间，有时其实就是时间和空间的守恒转换。

在上面的非递归中，我们之所以需要占用O(n)的空间，是因为我们在遍历的过程中，需要回退到父节点。在Morris中，通过给叶节点添加左右儿子，就能实现回退到父节点的效果，但是用时增加了。

Talk is cheap ,show me the code.

中序

//首先介绍中序遍历。中序遍历是Morris的基本形式，前序和后续都是基于中序修改的public List<TreeNode> inOrder(TreeNode root) {    List<TreeNode> result = new ArrayList<TreeNode>();    TreeNode cur = root;    while(cur!=null){        if(cur.left == null){            result.add(cur);            cur = cur.right;        }        else{            TreeNode pre = cur.left;            while(pre.right!=null && pre.right!=cur){                pre = pre.right;            }            if(pre.right == null){                pre.right=cur;                cur=cur.left;            }else{                pre.right =null;                result.add(cur);                cur = cur.right;            }        }    }    return result;}//空间O(1),时间O（n）

前序

public List<TreeNode> inOrder(TreeNode root) {    List<TreeNode> result = new ArrayList<TreeNode>();    TreeNode cur = root;    while(cur!=null){        if(cur.left == null){            result.add(cur);            cur = cur.right;        }        else{            TreeNode pre = cur.left;            while(pre.right!=null && pre.right!=cur){                pre = pre.right;            }            if(pre.right == null){                result.add(cur);  //唯一和中序的不同点                pre.right=cur;                cur=cur.left;            }else{                pre.right =null;                cur = cur.right;            }        }    }    return result;}

后序

后序和前序和中序不一样，需要辅助存储。这里就不讨论了，思想都是一样的。有兴趣的同学可以自己操作一下。

三、高级二叉树

1. 二叉查找树（BST）

二叉查找树，其特点是一个节点左边的所有节点的值都小于自己，右边的所有节点都大于自己。同一个有序的序列，都可以生成不同的BST。在具体的应用中，对于BST的实现都是用非递归形式，会比较高效。

BST的运行时间完全取决于BST树的形状。最好的情况下，含有N个阶段的BST是一个完全平衡的二叉树，那么这样的时间是O(LgN)，但是极端情况下，有可能得全部遍历为N。对于很多应用来树，插入得Key都是随机的，因此我们假设极端情况出现的比较少。

根据统计，由N个随即键构造的BST，插入或者查找未命中时平均比较次数为小于2InN(约1.39lgN)。可以看到BST比二分在查找上慢了39%，但是对于插入操作，插入一个新键BST会非常有优势，也是不到2lgN，而二分查找是线性的。当N越大，这个结论约接近。

在1979年J.Robson证明了，随机键构造的二叉查找树平均高度为树中节点数的对数级别，对于足够大的N，为2.99lgN。因此可以认为当N足够大且随机，树内路径不会超过3lgN。如果键不是随机，则可以用平衡二叉查找树。

2.平衡二叉树

首先我们要知道为什么会有平衡二叉树的存在。在BST中，我们知道BST的查找用时完全取决于二叉树的形状。因此在随机建树的过程中，可能出现最高为N的访问次数，因此不可控。那么如果控制二叉树的建立，尽量让BST变的平衡，那么就可以使得随机BST的访问时间都能为O(lgN)。这也就是平衡二叉树存在的原因。因此，奔着要让执行二叉树的查找、插入、删除等等操作都是对数级别这一目的，我们来讨论一下二叉平衡树。

首先提前明确一下，红黑树，是我们这里讨论的平衡二叉树的一种具体实现。

2-3节点树

我们上面讨论了二叉查找树，但是希望二叉查找树是尽量平衡的，因此我们引入2-3节点树的概念。2-3节点树的定义是树内包含2节点和3节点的树。那什么是2节点？

• 2-节点：普通的，包含一个键（A）和两个左右儿子的链接（X/Y）的节点就是2节点。
• 3-节点：是有两个键（A/B）和三个链接（X/Y/Z）。左边X是小于A的所有节点字树，Y是在AB之间的节点，Z是大于B的节点子树。

2-3节点树的性质使得2-3节点树就是平衡的。具体的2-3节点树的说明，可以参考这篇博客。总之，2-3树就是一个平衡树。而作为有序的平衡树，已经能够满足我们上面提到的“希望BST是平衡二叉树“的要求了。

那对于2-3平衡树的具体实现，就是我们了解到的红黑树了。红黑树的应用非常广泛，Java集合中的TreeSet和TreeMap，C++ STL中的set、map，以及Linux虚拟内存的管理，都是通过红黑树去实现的。红黑树和2-3节点树的关系是，在2-3节点树中，将3节点拆分为2个2节点，并用红链连接，这就是红黑树中的红点。黑链就是普通的节点，也就是黑点。在2-3节点转为红黑树的时候，需要遵循的原则是：

1.红链接均为左链接2.没有一个节点同时和两条红链接相连3.红黑树是完全黑树平衡的，也就是任意叶子到根的路径上黑链数量一致（将红链画成水平的）

这三条原则，也是知道红黑树在插入或者删除节点时，所需要执行的“旋转“操作的依据。

红黑树的代码这里就不贴上来了，感觉有点占篇幅。这里总结一下红黑树的性质。

1.大小为N的红黑树高度不超过2lgN。但是平均情况下，一般时1.00lgN。所以相对于上面的BST的平均1.39lgN，红黑树能够较少0.39的用时。