欧拉筛（线性筛）& 欧拉函数

今天又复习了一下欧拉筛法，在这做个笔记。

欧拉筛（线性筛）

一般情况下，有一种筛法叫埃什么什么的。是O(nloglogn)，非常接近于O(n)，但也会有坑爹的出题人来个10000000故意卡你。

原理

这可能原理有点妙啊。

• 设pr[i]为i最小质因子，然后从2开始计算
• 如果pr[i]没有在前面得到，就说明i是质数，所以pr[i]=i,prime[++len]=i。
• 对于i，枚举每一个不超过pr[i]的质数prime[j]，所以pr[i∗prime[j]]=prime[j]

这样可以发现，每一个数只会被它最小的质因子筛去，所以保证了算法为O(n)的。

我们见一下代码：

代码

void find_prime(int n){    memset(isprime,0,sizeof(isprime));    sp = 0;    for(int i = 2;i <= n;i++)    {        if(!isprime[i])        {            prime[++sp] = i;            isprime[i] = i;        }        for(int j = 1;j <= sp && i * prime[j] <= n;j++) {            isprime[i*prime[j]] = prime[j];            if(prime[j] >= isprime[i]) break;//用isprime[i]来表示i的最小质因子,可能用mod比较慢         }    }}

在break那一行，有的人会用
　　　　　　if(i % prime[j]==0) break;
不过也可以通过isprime[i]保存i最小的质因子来与prime[j]做比较。
但不管怎么写，我人认为最重要的就是含break的那个语句

欧拉函数

不过，仅仅筛素数就显得线性筛不是那么必要。
线性筛最科学的战场——求积性函数
作为蒟蒻，我以欧拉函数来举例：

代码

先粗浅地看一下代码

void find_prime(int n){    memset(isprime,0,sizeof(isprime));    sp = 0;    for(int i = 2;i <= n;i++)    {        if(!isprime[i])        {            prime[++sp] = i;            isprime[i] = i;            phi[i] = i-1;//①        }        for(int j = 1;j <= sp && i * prime[j] <= n;j++) {            isprime[i*prime[j]] = prime[j];            if(prime[j] >= isprime[i]) {                phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j];//②                break;            }            phi[i*prime[j]] = phi[i]*(prime[j]-1);//③        }    }}

原理

1. 每个数字只会被筛到一次
2. 当正整数p为素数时，phi[p]=p−1
3. 欧拉函数既然是积性函数，就说明当a与b互质时，满足phi(a∗b)=phi(a)∗phi(b)
4. 当p为素数时， phi(pk)=(p−1)∗pk−1
5. 我们保证了每次的prime[j]小于等于i的最小质因子，所以当prime[j]<isprime[i]时，phi[i∗prime[i]]=phi[i]∗phi[j]=phi[i]∗(j−1)，而在i%prime[j]==0时，直接乘上prim[j]。

上述的五点：1表明每个数值被算一次。2解释了①。3、4、5解释了②和③。

结

还有，本文参考：http://www.cnblogs.com/zhuohan123/p/3233011.html