[Codeforces585E]Present for Vitalik the Philatelist（容斥原理+组合数学）

题目描述

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题意：给出一列数，对于每一个数，求选出一个不包含当前数的非空子集满足子集与当前数gcd为1，并且子集中的所有数的gcd不为1的方案数，统计总和。

题解

首先考虑对于一个数，若它为质数，那么所有不是它倍数的数都和所有是它倍数的数互质
假设个数分别为x,y
那么它计算的答案应该为x∗(C1y+C2y+...+Cyy)=x∗(2y−1)
但是如果对于质数p和质数q都这样计算的话，p和q的公倍数会被重复计算
那么就需要运用到容斥原理，也就是一个质数的乘积-两个质数+三个质数…
可以发现容斥系数就是莫比乌斯函数取反

代码

#include<algorithm>#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;#define N 10000000#define LL long long#define Mod 1000000007int n;int mi[500005],p[N+3],prime[7000000],mu[N+3],ans;LL f;void get(int n){    for (int i=2;i<=n;++i)    {        if (!p[i])        {            prime[++prime[0]]=i;            mu[i]=-1;        }        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;++j)        {            p[i*prime[j]]=1;            if (i%prime[j]==0)            {                mu[i*prime[j]]=0;                break;            }            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];        }    }}int main(){    get(N);    memset(p,0,sizeof(p));    scanf("%d",&n);    mi[0]=1;for (int i=1;i<=n;++i) mi[i]=mi[i-1]*2%Mod;    for (int i=1;i<=n;++i)    {        int x;scanf("%d",&x);        ++p[x];    }    for (int i=2;i<=N;++i)    {        if (!mu[i]) continue;        f=0;        for (int j=i;j<=N;j+=i)            f+=p[j];        f=(LL)(n-f)*(mi[f]-1)%Mod;        ans=(ans-mu[i]*f)%Mod;    }    ans=(ans%Mod+Mod)%Mod;    printf("%d\n",ans);}